hola!! Tenemos otro contenido, que en mi opinión, es muuuy importante para entender los próximos contenidos en Álgebra, trataré de explicar paso a paso, de la forma más simple posible.
¿Qué es factorizar?
Como su nombre lo indica, factorizar consiste en escribir términos en forma de factores, es decir, transformar sumas y restas en una multiplicación. Este proceso nos permite unir varios términos en uno solo. Esto último nos permitirá más adelante poder simplificar.
¿Cómo factorizar rápido y fácil?
La verdad, es que se volverá fácil y rápido, en la medida en que aprendemos a reconocer los distintos casos de factorización y como muchas cosas en matemática la práctica es clave para acelerar los procesos.
¿Cómo factorizar paso a paso?
La respuesta a esta pregunta es la más importante, ya que debemos estudiar varios tipos de facorización, iré explicándoles caso a caso y paso a paso ;).
Tipos de factorización
¿Cuáles son los tipos de factorización? La respuesta quizá no les guste, ya que, son varios casos, se los voy a nombrar:
- Factorización con término común
- Factorización con término común polinomio
- Factorización de trinomio ordenado
- Factorización de diferencia de cuadrados
- Factorización de suma de cubos
- Factorización de diferencia de cubos
Pueden existir algunos otros casos, pero creo que enseñándoles estos, contarán con una buena base para defenderse.
Vamos a ver los distintos casos de factorización paso a paso, con ejemplos.
Factorización con término común
Ejemplo 1: Factorizar la expresión \(3x+6xy-7xz\)
En este tipo de factorización debemos poner atención en todos los términos y buscar aquella letra que se repita en todos, también debemos observar los números y preguntarnos si todos pertenecen a una misma tabla.
En nuestro ejemplo \(3x+6xy-7xz\), lo único que tienen todos los términos en común es la letra x.
Una vez identificada la letra, escribimos la expresión de la siguiente manera
\[x()\]
La x quedó fuera del paréntesis, ahora debemos ir completando el interior
\[x(3)\]
El primer término del paréntesis es el número 3, puesto que el término original era 3x, la pregunta que puedes hacerte es «¿por cuánto multiplico la x para que me de 3x?» La respuesta es el número que quedó dentro del paréntesis. Esta pregunta la iremos realizando con cada término, sigamos.
\[x(3+6y)\]
Ahora apareció un 6y, hacemos la pregunta ¿por cuánto multiplico la x para que me de 6xy?» La respuesta es por 6y. Vamos con el final
\[x(3+6y-7z)\]
La última pregunta es ¿por cuánto multiplico la x para que me de -7xz?» Por -7z.
Con esto ya hemos terminado, lo dejo todo junto para que lo vean
\[3x+6xy-7xz=x(3+6y-7z)\]
Si ustedes quieren comprobar su resultado, basta con multiplicar término a término (la x por cada uno de los tres términos del paréntesis que hicimos).
Ejemplo 2: Factorizar la expresión \(3x^2+6x^3-9x^4\)
Nos fijamos nuevamente en aquellos elementos repetidos en cada término, en este caso los números pertenecen a la tabla del 3 y tienen la x en común.
A diferencia del ejemplo anterior, tienen exponentes, en este caso yo les recomiendo que elijan el exponente más pequeño de los tres, nos quedaría
\[3x^2()\]
El 3 por la tabla en común y el \(x^2\) por ser el exponente más pequeño de todas las x. Ahora formamos los términos del interior del paréntesis, la pregunta orientadora es la misma anterior ¿por cuánto multiplicamos \(3x^2\) para que forme cada uno de los términos?
\[3x^2(1)\]
Este término queda como 1 (cuando es exactamente igual va el 1)
\[3x^2(1+2x)\]
Este segundo término es 2x puesto que 3×2=6 y \(x^2\cdot x = x^3\)
\[3x^2(1+2x-3x^2)\]
Ejemplo 3: Factorizar la expresión \(4x^2y^5+6x^3y^3-8x^4y^7z\)
Esta vez solo iré dejando los resultados, ya que la explicación y comentarios son del mismo tipo
\[4x^2y^5+6x^3y^3-8x^4y^7z=\]
\[2x^2y^3(2y^2)=\]
\[2x^2y^3(2y^2+3x)=\]
\[2x^2y^3(2y^2+3x-4x^2y^4z)\]
Factorización con término común polinomio
Estas expresiones tienen un término en común al igual que el caso anterior, sin embargo, son polinomios, veamos un ejemplo para ir entendiendo esto
Ejemplo 1: Factorizar \(m(2a+b)-3n(2a+b)\)
El término común en este caso es \((2a+b)\), factorizamos por este término y vamos completando el paréntesis
\[(2a+b)()\]
\[(2a+b)(m)\]
para el primer término, solo faltaba la m
\[(2a+b)(m-3n)\]
para el segundo término falta -3n, nuevamente si quieren comprobar, deben multiplicar, en este caso, el binomio por cada término.
Ejemplo 2: Factorizar \(m(a-c)+a-c\)
En este caso podemos confundirnos, porque no vemos el paréntesis, sin embargo, podemos escribirlo para guiarnos
\[m(a-c)+(a-c)\]
El término en común es el binomio \((a-c)\), vamos entonces
\[(a-c)()\]
\[(a-c)(m)\]
ahora viene lo diferente, fuera del paréntesis «no hay nada», peeero, siempre ha estado un 1 allí oculto, nos queda entonces
\[(a-c)(m+1)\]
Ahí estamos listos.
Ejemplo 3: Factorizar \(a(x^2+y^2+z^2)-x^2-y^2-z^2\)
ahora si que nos quieren complicar, sin embargo podemos hacer un truco que implica hacer una «doble factorización», voy a cambiar todos los signos negativos factorizando por lo que tienen en común… exactamente por -1. El primer paréntesis quedará igual.
\[a(x^2+y^2+z^2)-1 \cdot (x^2+y^2+z^2)\]
Ese -1 logró cambiar todos los signos negativos (más adelante no escribimos el 1, solo el signo -).
Con este problema superado, vemos que todo el paréntesis es el término común y procedemos a factorizar
\[(x^2+y^2+z^2)()\]
\[(x^2+y^2+z^2)(a)\]
\[(x^2+y^2+z^2)(a-1)\]
Ahora sí terminamos.
Ejemplo 4: Factorizar \(ac + ad + bc + bd\)
Este ejemplo nos coloca en un caso nuevo, si se fijan, no existe ningún elemento que sea común a todos los términos, agruparemos de a 2 en 2 y veremos que magia sucede
\[ac + ad + bc + bd\]
\[a()+ bc + bd\]
\[a(c)+ bc + bd\]
\[a(c+d)+ bc + bd\]
\[a(c+d)+ b()\]
\[a(c+d)+ b(c)\]
\[a(c+d)+ b(c+d)\]
si vieron el paso a paso cuidadosamente, notaron que primero trabaje con los dos términos de la izquierda, ellos tenían en común la letra \(a\), una vez terminada esa factorización, continué con los dos términos de la derecha, ellos tenían en común la letra \(b\), con todo esto dicho, sigamos.
\[a(c+d)+ b(c+d)\]
ahora tenemos en común el paréntesis \((c+d)\), esta es la magia, estos ejercicios están hechos a propósito para que resulten :3.
\[(c+d)()\]
\[(c+d)(a)\]
\[(c+d)(a+b)\]
Ejemplo 5: Factorizar \(a^2x^2y^2+b^2x^2y^2-2a^2-2b^2\)
para que no digan que uno hace los más simples siempre, nuevamente iremos de a dos en dos.
Los dos términos de la izquierda tienen en común \(x^2y^2\), factorizamos por esto y vemos que nos queda
\[x^2y^2()-2a^2-2b^2\]
\[x^2y^2(a^2)-2a^2-2b^2\]
\[x^2y^2(a^2+b^2)-2a^2-2b^2\]
lista la primera etapa, ahora la experiencia me dice que factorice los dos términos de la derecha por -2
\[x^2y^2(a^2+b^2)-2()\]
\[x^2y^2(a^2+b^2)-2(a^2)\]
\[x^2y^2(a^2+b^2)-2(a^2+b^2)\]
al haber factorizado por -2 me quedó inmediatamente \(a^2+b^2\), este paréntesis está en común en ambas así que factorizo por ello
\[(a^2+b^2)()\]
\[(a^2+b^2)(x^2y^2)\]
\[(a^2+b^2)(x^2y^x-2)\]
Listo!!
Factorización de trinomio ordenado
Antes de iniciar, recordemos que un trinomio ordenado es, un trinomio donde los exponentes van de forma decreciente de izquierda a derecha, por ejemplo
\[x^2+2x+4\]
No siempre será fácil factorizar este tipo de expresiones, veremos algunos casos e iremos complicando de a poco.
Ejemplo 1: Factorizar \(x^2+5x+6\)
Para resolver voy a dar la explicación con la forma general, es decir, si tenemos un trinomio ordenado de la forma
\[x^2+bx+c\]
Necesitamos encontrar dos números que multiplicados sean \(c\) y esos mismos números sumados sean \(b\), esos números los llamaré \(x_1\) y \(x_2\), lo que acabo de decir queda mas menos
\[x_1 \cdot x_2 = c\]
\[x_1 + x_2 = b\]
Volvamos a nuestro ejemplo \(x^2+5x+6\), debemos encontrar dos números que multiplicados sean 6 y sumados sean 5
\[x_1 \cdot x_2 = 6\]
\[x_1 + x_2 = 5\]
Siempre les recomiendo pensar en las combinaciones de la multiplicación primero y luego buscar las de la suma, en este caso tenemos pocas opciones \(3\cdot 2 = 6\) y \(6\cdot 1 = 6\), con estas opciones listas, podemos verificar si se cumple la suma (no consideré las posibilidades negativas porque la multiplicación debe ser positiva y la suma también, eso me descarta las opciones negativas)
\[6 + 1 = 7, \text{esta opción no nos sirve}\]
\[3 + 2 = 5, \text{esta opción es la correcta!}\]
Con los números encontrados escribimos la factorización
\[x^2+5x+6=\]
\[(x+3)(x+2)\]
Si multiplican término a término podrán comprobar que es equivalente.
Ejemplo 2: Factorizar \(x^2-6x-16\)
Vamos un poco más rápido,
\[x_1 \cdot x_2 = -16\]
\[x_1 + x_2 = -6\]
Necesitamos dos números que multiplicados sean \(-16\), tenemos varias opciones \(4\cdot -4\), \(8\cdot -2\), \(-8\cdot 2\), \(-16\cdot 1\) y \(16\cdot -1\), es muy importante el trabajo de signos, si no lo recuerdas bien dale una mirada a mi publicación sobre números enteros.
Veamos ahora las sumas para definir que pareja nos sirve
\[4+(-4)=0\]
\[8+(-2)=6\]
\[-8+2=-6\], esta es la correcta!
\[16+(-1)=15\]
\[-16+1=-15\]
Ya tenemos la pareja con sus signos y todo, escribamos la respuesta
\[x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\]
Ejemplo 3: Factorizar \(x^2+\frac{7}{4}x+\frac{3}{8}\)
Mismo procedimiento, aunque un poquito más difícil por las fracciones
\[x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{8}\]
\[x_1 + x_2 = \frac{7}{4}\]
Veamos opciones de multiplicación: \(\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}\) y \(\frac{3}{8} \cdot 1=\frac{3}{8}\), no considero las negativas porque, la multiplicación debe ser positiva y la suma también, eso me indica que los números serán positivos. Si no recuerdan como multiplicar y sumar fracciones, ya saben 😘, vean mi post sobre números racionales.
Vamos con la suma
\[\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{6}{4}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}, \text{esta nos sirve!}\]
Entonces la factorización quedaría
\[x^2+\frac{7}{4}x+\frac{3}{8}=(x+\frac{3}{2})(x+\frac{1}{4})\]
Ejemplo 4: Factorizar \(a^2-5ab+6b^2\)
Este ejemplo es similar a los primeros, solo nos han añadido más letras, en palabras simples, nuestro segundo término tendrá también una letra
\[(a)(a)\]
El primer término de los paréntesis fue fácil, solo pensar en «qué término al cuadrado nos da \(a^2\)», pues \(a\).
Luego pensamos, que dos números multiplicados son 6 y sumados -5, las \(b\) las dejamos de lado y las añadimos luego
\[x_1\cdot x_2=6\]
\[x_1+ x_2=-5\]
Cómo 6 es positivo y el término central es negativo sé que ambos números deben ser negativos.
\[-3\cdot -2=6\]
\[-3+(-2)=-5\]
Añadimos las \(b\) y nos queda
\[(a-3b)(a-2b)\]
Si multiplican término a término para comprobar, verán que está correcto.
Ejemplo 5: Factorizar \(4x^2+8x+4\)
Este caso es distinto a los anteriores, el número que acompaña a \(x^2\) ya no es 1, en este caso es 4, voy a colocar el desarrollo y luego comentaré que tiene de diferente
\[(2x)\cdot (2x)\]
\[(2x+2)(2x+2)\]
\[(2x+2)^2\]
Estos casos son resultados de cuadrados de binomio (si no lo recuerdas, ve a ver mi post de productos notables!)
Explicación: La idea para resolver es pensar en los valores extremos, si notan que ambos son el resultado de «algo» al cuadrado, muy probablemente el ejercicio esté hecho para resolverlo de esta manera, deben descubrir ese «algo» que elevado al cuadrado nos dan los resultados de los extremos (si está desordenado, obvio pueden ordenarlo). En nuestro ejemplo
\[(2x)^2=4x^2\]
\[(2)^2=4\]
El término central si lo miran con detención es el resultado de multiplicar: «el doble del primer término por el segundo» (espero que esa frase les suene), es decir,
\[2(2x\cdot 2)=8x\]
Dentro de este tipo de factorización hay una que llamamos en el colegio «caso largo«, ya verán de donde viene el nombre
Ejemplo 6: Factorizar \(6x^2-9x-6\)
Este caso es distinto al anterior ya que no es el resultado de un cuadrado de binomio, basta con ver el número que acompaña a \(x^2\), es un 6, no podemos encontrar un número que al cuadrado nos de 6 (excluyendo obvio a \(\sqrt{6}\)). Voy a realizar el proceso paso a paso
\[6x^2-9x-6=\]
Multiplicamos y dividimos todo por 6 (que es el mismo número que acompaña a \(x^2\))
\[\frac{6}{6}\cdot (6x^2-9x-6)=\]
\[\frac{36x^2-6\cdot (9x)-36}{6}=\]
Como pueden ver el término central no lo multiplique, solo los extremos, esto es intencional ya que así podemos visualizar de mejor manera los números que buscamos, sigamos
\[\frac{(6x)(6x)}{6}=\]
voy paso a paso, lo demás no ha desaparecido, el primer término de cada paréntesis será \(6x\) ya que \((6x)^2=36x^2\).
Ahora buscamos dos números que multiplicados sean -36 (el tercer término) y sumados -9 (el término central original que dejamos sin multiplicar)
\[x_1\cdot x_2=-36\]
\[x_1+ x_2=-9\]
Después de buscar un rato nos damos cuenta que los números son -12 y 3, por lo tanto, tenemos
\[\frac{(6x-12)(6x+3)}{6}=\]
Debemos ahora lograr eliminar el 6 del denominador, para ello recurrimos al primer tipo de factorización, factor común, nos queda
\[\frac{6(x-2)(6x+3)}{6}=\]
En este punto podemos simplificar, un detalle importante es que a veces, tendrán que factorizar en ambos paréntesis para lograr eliminar el denominador, algo como \(2(3x-6)\cdot 3(2x+1)\), si se fijan los números que quedan fuera son 2 y 3, al multiplicarlos da 6, con eso podrían también simplificar el denominador. Sigamos,
\[\frac{6(x-2)(6x+3)}{6}=\]
\[(x-2)(6x+3)\]
Estaríamos listos, soy consciente de que el segundo paréntesis se puede volver a factorizar por 3, sin embargo lo dejaré así, para que puedan comprobar más fácil el resultado, si multiplican término a término verán que las expresiones son equivalente, es decir,
\[6x^2-9x-6=(x-2)(6x+3)\]
Factorización de diferencia de cuadrados
Está factorización no es tan terrible como la anterior, basta con darnos cuenta de que los dos términos que se están restando, son el resultado de elevar «algo» al cuadrado. Una vez descubierto vamos a factorizar utilizando la suma por su diferencia.
Ejemplo 1: Factorizar \(x^2-y^2\)
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]
Como pueden ver es determinar ese «algo» y colocar los términos repetidos con signos distintos en el centro.
Ejemplo 2: Factorizar \(9x^2-25z^4\)
\[9x^2-25z^4=(+)(-)\]
\[9x^2-25z^4=(3x+)(3x-)\]
\[9x^2-25z^4=(3x+5z^2)(3x-5z^2)\]
Ejemplo 3: Factorizar \(-36z^2x^4+49w^8\)
Antes de resolver reordenamos los términos, lo importante es que los signos se vayan con quien corresponde
\[49w^8-36z^2x^4=(+)(-)\]
\[49w^8-36z^2x^4=(7w^4+)(7w^4-)\]
\[49w^8-36z^2x^4=(7w^4+6zx^2)(7w^4-6zx^2)\]
Ejemplo 4: Factorizar \(\frac{25}{36}x^2-\frac{100}{25}z^{100}\)
\[\frac{25}{36}x^2-\frac{100}{25}z^{100}=(+)(-)\]
\[\frac{25}{36}x^2-\frac{100}{25}z^{100}=(\frac{5}{6}x+)(\frac{5}{6}x)(-)\]
\[\frac{25}{36}x^2-\frac{100}{25}z^{100}=(\frac{5}{6}x+\frac{10}{5}z^{50})(\frac{5}{6}x-\frac{10}{5}z^{50})\]
Factorización de suma y diferencia de cubos
La suma y la diferencia de cubos se factorizan de una manera muy similar, claramente podríamos demostrar de donde viene la fórmula, pero me limitaré a darles una explicación lo más sencilla posible, obvio que si necesitan más detalles me dejan un comentario y lo incorporo.
Lo importante en estos casos es darnos cuenta de que tenemos dos expresiones elevadas al cubo (elevadas a 3) que se están sumando o bien restando, les dejo las fórmulas y luego las comento
\[x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\]
\[x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\]
En primer lugar, deben incorporar dos paréntesis en uno de ellos queda un binomio y en el otro un trinomio.
En segundo lugar, el binomio tiene ese «algo» que elevado a 3, nos da la expresión original o bien la raíz cúbica de los términos, en este binomio repetimos el signo original (suma o resta).
En tercer lugar, el trinomio lo construimos a partir del binomio, iré nombrando los términos de izquierda a derecha, «el cuadrado del primero (me refiero al primero del binomio), luego signo contrario al del binomio, después la multiplicación de ambos términos y por último el cuadrado del segundo término (me refiero al segundo del binomio)». Veamos más ejemplos
Ejemplo 1: Factorizar \(27x^3-8y^3\)
\[27x^3-8y^3=\]
\[27x^3-8y^3=(3x-)()\]
\[27x^3-8y^3=(3x-2y)()\]
\[27x^3-8y^3=(3x-2y)(9x^2)\]
\[27x^3-8y^3=(3x-2y)(9x^2+)\]
\[27x^3-8y^3=(3x-2y)(9x^2+6xy)\]
\[27x^3-8y^3=(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)\]
Ejemplo 2: Factorizar \(1000x^9y^6+1\)
\[1000x^9y^6+1=\]
\[1000x^9y^6+1=(10x^3y^2+)()\]
\[1000x^9y^6+1=(10x^3y^2+1)()\]
\[1000x^9y^6+1=(10x^3y^2+1)(100x^6-)\]
\[1000x^9y^6+1=(10x^3y^2+1)(100x^6-20x^3y^2)\]
\[1000x^9y^6+1=(10x^3y^2+1)(100x^6-20x^3y^2+1)\]
Por si alguien tiene dudas, encontrar la raíz cúbica de una potencia es tan sencillo como dividir el exponente de la potencia por 3, es por eso que de 9 pasamos a 3 en el ejercicio. Si tienen dudas sobre potencias atentos al post de potencias de la página.
Resumen casos de factorización
Término común: \(ax+ay-az=a(x+y-z)\)
Término común polinomio: \((a+2)x-(a+2)y=(a+2)(x-y)\)
Trinomio ordenado: recordar los números que multiplicados y sumados den «c» y «b», respectivamente.
Trinomio ordenado caso largo: Amplificar por el número que acompaña a \(x^2\), encontrar los números que multiplicados y sumados, factorizar nuevamente, simplificar.
Diferencia de cuadrados: \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)
Suma y Diferencia de cubos: \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\), \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
Claramente quedan muchísimos ejemplos que ver, pero si tienen dudas de algún ejercicio en particular pueden dejármelo en comentarios y trataré de resolverlo en la sección de dudas, saludos y espero que les sirva!
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