Porcentajes

Los porcentajes (%) pudieran ser uno de los temas matemáticos más conocidos y también más utilizados en nuestra vida cotidiana, basta con ir al negocio o al mall para que nos encontremos con letreros de descuento (20%, 30%, últimos días 60%, etc.). Tenemos porcentajes escondidos en muchas cosas, por ejemplo el famoso IVA (19% en Chile), este porcentaje que nos cobran en todas nuestras compras, en fin, podría seguir enumerando ejemplos por mucho tiempo.

A pesar de que los porcentajes aparecen en muchos lugares, al momento de hacer una prueba en el colegio, no tenemos idea de como calcularlos… esto pudiera ser porque están estrechamente relacionados con las proporciones, un tema que suele sacar algunas «canas verdes» por no saber interpretar la información de los enunciados.

En este post les mostraré como calcular porcentajes utilizando:

  • Proporciones
  • Mentalmente
  • Como una multiplicación

Además veremos las variaciones porcentuales, así que comencemos.

Cálculo de porcentajes

Como ya les había mencionado, calcularemos porcentajes de tres maneras distintas, para ello voy a colocar un problema o un ejercicio y luego lo desarrollaremos 😋 .

Utilizando proporciones

Para resolver utilizando proporciones debemos preguntarnos y estar seguros de ¿Quién es el 100%? teniendo esa respuesta todo lo demás será fácil.

Ejercicio 1: ¿Cuál es el 25% de 120?

Solución: Debemos responder la pregunta ¿Quién es el 100%?… en este caso son los 120, ya que de ellos se nos pide conocer su 25%, procedemos a plantear la siguiente proporción

\[\frac{cantidad}{\text{%}}=\frac{120}{100}=\frac{x}{25}\]

muy importante ser cuidadosos con el orden en que planteamos los datos, vean horizontalmente, que coincida % con % y cantidad con cantidad.

\[\frac{cantidad}{\text{%}}=\frac{120}{100}=\frac{x}{25}\]

\[\frac{120}{100}=\frac{x}{25}\]

\[\frac{120\cdot 25}{100}=x\]

SIEMPRE simplifiquen 😋 

\[\frac{120\cdot 1}{4}=x\]

\[30=x\]

Por lo tanto, el 25% de 120 es 30.

Ejercicio 2: ¿Qué porcentaje es 30 de 200?

Solución: Nuevamente debemos responder la pregunta ¿Quién es el 100%?… en este caso son los 200, solo nos cambian la incógnita, esta vez debemos determinar un porcentaje conociendo las cantidades, procedemos a plantear la siguiente proporción

\[\frac{\text{%}}{cantidad}=\frac{100}{200}=\frac{x}{30}\]

\[\frac{100\cdot 30}{200}=x\]

\[\frac{1\cdot 30}{2}=x\]

\[15=x\]

Por lo tanto, 30 es el 15% de 200.

Ejercicio 3: ¿300 es el 40% de?

Solución: vamos con nuestra pregunta ¿Quién es el 100%?… en este caso nos dan a conocer el 40%, por lo cual, esta vez la incógnita es el 100%, procedemos a plantear la siguiente proporción

\[\frac{cantidad}{\text{%}}=\frac{x}{100}=\frac{300}{40}\]

\[\frac{x}{100}=\frac{300}{40}\]

\[x=\frac{300\cdot 100}{40}\]

\[x=\frac{300\cdot 10}{4}\]

\[x=\frac{300\cdot 5}{2}\]

\[x=150\cdot 5\]

\[x=750\]

Por lo tanto, 300 es el 40% de 750.

Mentalmente

Esta técnica será apropiada para algunas ocasiones pero no para todas, en especial en aquellas en que los porcentajes solicitados sean de números no decimales o números pares.

Para calcular porcentajes mentalmente mi recomendación es calcular el 10% y el 1% del número, con estos valores completar el porcentaje pedido, por ejemplo, si nos piden obtener el 23 % de un número, podemos hacerlo calculando el 10% x 2 + 1% x 3, con un ejemplo será mucho más fácil de entender

Ejemplo: Obtener el 34% de 1200.

Primero calculamos el 10% (esto es muy sencillo ya que es solo dividir por 10). Esto es

\[120\]

ahora multiplicamos 120 x 3 = 360

con esto ya obtuvimos el 30%

nos falta ese 4%, para ello calculamos el 1% y lo multiplicamos por 4, es decir, volvemos a dividir por 10 y nos queda

\[12\]

multiplicamos 12 x 4 = 48

Finalmente sumamos 48 con 360 y nos da

\[408\]

Por lo tanto 408 es el 34% de 1200.

Sé que al explicar parecen muchos pasos, pero si lo practican les resultará muy útil para cálculos mentales y rápidos. Como en todas las cosas, la práctica hace al maestro.

Como multiplicación

La tercera y última forma de calcular porcentajes que les mostraré, es transformando cada porcentaje solicitado en una fracción y multiplicando, veamos un ejemplo:

Obtener el 20% del 30% de 50.

Solución: escribimos los porcentajes como fracciones

\[\frac{20}{100}\cdot \frac{30}{100}\cdot 50=\]

Cada porcentaje su puede transformar a su equivalente en fracción al dividirlo por 100 (de ahí el nombre «por ciento») y ahora a resolver como queramos.

\[\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{10}\cdot 50=\]

\[\frac{2}{10}\cdot 3\cdot 5=\]

\[\frac{2}{2}\cdot 3\cdot 1=\]

\[1\cdot 3\cdot 1=\]

\[3\]

Por lo tanto el 20% del 30% de 50 es 3.

Adicionalmente a esto podemos aprendernos el cálculo de algunos porcentajes de memoria, por ejemplo:

  • El 75%: es equivalente a multiplicar el número por \(\frac{3}{4}\).
  • El 50% es equivalente a dividir el número por 2.
  • El 25% es equivalente a dividir el número por 4.
  • El 20% es equivalente a dividir el número por 5.
  • El 10% es equivalente a dividir el número por 10.

Variaciones porcentuales

Quizá la parte más complicada dentro de este contenido es cuando nos piden encontrar las variaciones porcentuales, ya que no basta con sacar un solo porcentaje, sino que debemos comprender ¿Cuál es el punto inicial? y si es necesario hacer una resta o una suma, lo veremos todo con ejemplos.

Problema 1.

Una tienda se encuentra en liquidación y realiza una promoción de un 20% de descuento en todos sus productos, si antes de entrar en liquidación un televisor costaba $100.000 (pesos chilenos) ¿a qué precio se encuentra ahora?

Solución: Para resolver este tipo de situaciones tendremos que realizar por lo general dos pasos, el primero consiste en determinar cuanto es el monto al que corresponde el porcentaje de descuento y luego restárselo al precio original. Otra forma de resolver es restar el porcentaje directamente del 100% y calcular lo que corresponda, resolveré de ambas formas.

Forma 1.

Lo importante es como siempre reconocer ¿Quién es el 100%? en este caso los $100.000, yo le llamo el «punto de inicio». Una vez determinado resolveremos utilizando una proporción.

\[\frac{Precio}{\text{%}}=\frac{100.000}{100}=\frac{x}{20}\]

\[\frac{100.000}{100}=\frac{x}{20}\]

\[\frac{100.000\cdot 20}{100}=x\]

\[\frac{1000\cdot 20}{1}=x\]

\[1000\cdot 20=x\]

\[20.000=x\]

Por lo tanto el descuento es de 20.000, restamos y obtenemos la respuesta final

\[100.000 – 20.000 = 80.000\]

Forma 2.

Para la forma 2, restaremos inmediatamente los porcentajes, es decir, (100 – 20)% por lo tanto calcularemos de una vez el 80% del valor inicial

\[\frac{Precio}{\text{%}}=\frac{100.000}{100}=\frac{x}{80}\]

\[\frac{100.000\cdot 80}{100}=x\]

\[\frac{1000\cdot 80}{1}=x\]

\[1000\cdot 80=x\]

\[80.000=x\]

Llegamos al mismo resultado 😄.

Problema 2.

Una automotora recibe un nuevo modelo de vehículo, el cual tiene un precio de $4.600.000 sin incluir el IVA, ¿a qué precio saldrá al mercado?

Solución: Para resolver este problema al igual que en el anterior podemos realizarlo de 2 formas (para la segunda tendríamos que calcular el 119%), particularmente realizaré la primera.

Lo importante es como siempre reconocer ¿Quién es el 100%? en este caso los $4.600.000, nuestro «punto de inicio». Una vez determinado resolveremos utilizando una proporción.

\[\frac{Precio}{\text{%}}=\frac{4.600.000}{100}=\frac{x}{19}\]

\[\frac{4.600.000}{100}=\frac{x}{19}\]

\[\frac{4.600.000\cdot 19}{100}=x\]

\[\frac{46.000\cdot 19}{1}=x\]

\[46.000\cdot 19=x\]

\[874.000=x\]

Sumamos el valor obtenido (19%) y tendremos la respuesta final

\[4.600.000+874.000=\]

\[5.474.000\]

Ese es precio al que saldrá al mercado, es decir, con el IVA incluido.

Video explicativo

Para quienes quieran profundizar, les dejo un pequeño video 😀

Hasta aquí dejaremos el tema de porcentajes, espero que les sea de ayuda!!! 💗 

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