Números Racionales

Les traigo otro de los hermosos conjuntos numéricos que tristemente es odiado por no ser comprendido, seamos solidarios y tratemos de entenderlo ❤️.

¿Cuáles son y qué símbolo tienen?

Este conjunto tiene a todos aquellos números que pueden ser escritos como una fracción, es decir, \(\frac{a}{b}\) donde \(a\) y \(b\) son números enteros, pero además \(b\) es distinto de 0.

Traducido esto, tenemos positivos, negativos, el cero y los números decimales que estan entre ellos, dejamos fuera solo a los números irracionales (que veremos en otro post). Su símbolo es: \(Q\).

Este conjunto da para mucha lectura, iniciamos con las distintas transformaciones que podemos realizar y luego con su operatoria.

Transformaciones

Amplificación y simplificación

Cuando resolvemos ejercicios solemos decir a los alumnos «simplifique primero» o «el resultado debe quedar simplificado». Esto es importante ya que al simplificar efectivamente estamos simplificando un proceso que puede resultar complicado.

Simplificar

Simplificar es dividir tanto al numerador (número que está arriba en la fracción) como al denominador (número que está abajo en la fracción) por un mismo número.

Ejemplo: la fracción \(\frac{16}{24}\) se puede simplificar por varios números.

\[\frac{16}{24}\]

\[\frac{16:4}{24:4}\]

\[\frac{4}{6}\]

Hemos simplificado por 4 y hemos obtenido la fracción \(\frac{4}{6}\) está última es EQUIVALENTE con la primera, es decir, representan el mismo valor numérico pero claramente son distintas en la escritura.

Podríamos haber simplificado por otro número, por el 2, el 6, el 8 o el 12.

Cuando simplificamos por lo general pedimos a los estudiantes que lleguen hasta la fracción irreductible, es decir, aquella que ya no puede volverse a simplificar.

Prosigamos con nuestro ejemplo, nos quedamos en \(\frac{4}{6}\), podemos volver a simplificar por 2:

\[\frac{4}{6}\]

\[\frac{4:2}{6:2}\]

\[\frac{2}{3}\]

La fracción \(\frac{2}{3}\) es irreductible, ¿cómo lo sé? Pues porque el 2 y el 3 ya no tienen un divisor en común, es decir, ningún número divide (de manera entera) al 2 y al 3 al mismo tiempo.

Amplificar

Es el proceso contrario, es decir, vamos a multiplicar tanto al numerador como al denominador por un mismo número. En este caso no tendremos un límite al cual llegar, podremos hacer este proceso por el número que queramos.

La amplificación es importante porque la usaremos para más adelante sumar y restar fracciones.

Ejemplo: Amplificar la fracción \(\frac{5}{7}\) por 6.

\[\frac{5}{7}\]

\[\frac{5\cdot6}{7\cdot6}\]

\[\frac{30}{42}\]

Esta nueva fracción es también equivalente con la inicial.

Con esto claro sigamos adelante.

Pasaremos ahora a realizar las conexiones entre las distintas representaciones de un número racional, osea entre fracciones y números decimales.

De fracción a número decimal

Iremos explicando cada caso con ejemplos, empecemos:

\[\frac{15}{20}\]

Para transformar la fracción anterior debemos dividir, el numerador en el denominador, es decir:

\[15:20=\]

\[150:20=0,\]

\[150:20=0,7\]

\[10:20=0,7\]

\[100:20=0,7\]

\[100:20=0,75\]

Entonces \(\frac{15}{20}=0,75\)

Este ejemplo resultó ser un número decimal finito, veamos otro ejemplo con un decimal infinito.

\[\frac{15}{9}\]

\[15:9=\]

\[15:9=1\]

\[6:9=1\]

\[60:9=1,\]

\[60:9=1,6\]

De aquí en adelante vemos como el patrón se repite y obtenemos un número periódico, lo cual se escribe

\[6:9=1,\bar{6}\]

De número mixto a fracción

Continuemos con nuestros ejemplos, le toca el turno a los números mixtos. Un número mixto es aquel que tiene una parte entera y una fracción:

\[1\frac{3}{4}\]

Para transformarlo en una fracción, multiplicamos el entero por el denominador y le sumamos el numerador, ese resultado será el numerador de la nueva fracción y el denominador se mantiene, es decir,

\[1\frac{3}{4}\]

\[\frac{1\cdot4+3}{4}\]

\[\frac{7}{4}\]

De número decimal finito a fracción

Vamos ahora con las reglas más difíciles, bueno, no tanto, pero si hay que memorizar un poco. Yo suelo explicarlo de la siguiente manera:

«Para transformar de un número decimal finito a fracción, escriba el número completo, sin importar las comas que hayan y luego partalo (me refiero al denominador) por un 1 seguido de tantos 0 como números decimales (números después de la coma) hayan».

Ejemplos:

\[13,5\]

\[\frac{135}{10}\]

Como había un solo número después de la coma, colocamos un solo 0 en el denominador. Veamos otro ejemplo.

\[0,576\]

\[\frac{576}{1000}\]

En este caso ignoramos el 0 y la coma, escribimos el número como si ellos no existieran y lo dividimos por un 1 con tres 0 ya que había tres números después de la coma.

De número decimal periódico a fracción

Sigamos con nuestras reglas, para esta ocasión añadimos más ingredientes.

Vamos a escribir todo el número como si no hubiera coma, luego le restamos todo aquello que no sea periódico (lo que no tenga la barrita encima) y finalmente para el denominador colocamos tantos 9 como números periódicos haya. Ejemplos:

\[1,\bar{5}\]

\[\frac{15-1}{9}\]

\[\frac{14}{9}\]

Ya lo hemos transformado, si no me creen que resulta, les invito a que usen su calculadora y dividan 14 en 9 🙈.

Veamos otro caso

\[23,\bar{4}\bar{5}\]

\[\frac{2345-23}{99}\]

\[\frac{2322}{99}\]

Los invito a comprobar nuevamente.

De número decimal semiperiódico a fracción

Vamos con el último tipo de transformación que trabajaremos. En esta ocasión mezclamos ambas reglas, «escribimos todo el número, le restamos lo que no es periódico y para el denominador colocamos tantos 9 como números periódicos haya seguidos de tantos 0 como números decimales no periódicos haya (números entre la coma y los números periódicos)».

Veamos un ejemplo de este trabalenguas

\[7,4\bar{5}\]

\[\frac{745-74}{90}\]

\[\frac{671}{90}\]

Nuevamente pueden comprobar con una calculadora si funciona.

Veamos un último ejemplo

\[0,33\bar{4}\bar{5}\]

\[\frac{3345-33}{9900}\]

\[\frac{3312}{9900}\]

Si se pudo!

Video explicativo

Para aquellos que necesiten un poquito más de ayuda, les dejo un video 😀

Ya sabemos como transformar lo que nos pongan por delante, vamos ahora con las operaciones.

Suma de fracciones

La suma de fracciones puede ser la parte más compleja de las cuatro operaciones, ya que muy seguido los alumnos suman peras con manzanas, es decir, se olvidan de igualar los denominadores, cuando son iguales podemos sumar!

Para igualar denominadores yo les propongo el método de amplificación, hoy en día está muy de moda el método mariposa 🦋, sin embargo, este método nos deja con números muy grandes, no simplificados.

Ejemplo: sumar \(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\)

Siempre, siempre, siempre debemos preguntarnos ¿son iguales los denominadores?

Si lo fueran, se conserva el mismo y se suman los numeradores.

En nuestro ejemplo son distintos, entonces tenemos que igualarlos.

Veamos \(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\), el 4 y el 5… ¿habrá algún número (natural) por el cual multiplicar el 4 de tal modo que se convierta en 5?

No, entonces amplificaremos por los mismos números de manera intercambiada:

\[\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\]

\[\frac{3\cdot5}{4\cdot5}+\frac{4\cdot4}{5\cdot4}\]

\[\frac{15}{20}+\frac{16}{20}\]

Hemos igualado los denominadores, ahora podemos sumar

\[\frac{15}{20}+\frac{16}{20}=\frac{31}{20}\]

Vamos con otro ejemplo

\[\frac{3}{16}+\frac{1}{2}\]

En este caso si existe un número por el cual multiplicar el 2 de modo que se transforme en 16… por 8.

Procedemos a amplificar la segunda fracción por 8 y la primera queda tal cual.

\[\frac{3}{16}+\frac{1}{2}\]

\[\frac{3}{16}+\frac{1\cdot8}{2\cdot8}\]

\[\frac{3}{16}+\frac{8}{16}\]

\[\frac{11}{16}\]

Veamos un último ejemplo

\[\frac{3}{5}+\frac{4}{6}+\frac{1}{2}\]

Tenemos 3 fracciones 😵‍💫

Podemos trabajar dos a dos o bien todas de una vez.

Lo haré dos a dos de izquierda a derecha, es decir, nos centramos en el 5 y 6, no existe un número por el cual multiplicar el 5 para obtener el 6, así que amplificamos de manera intercambiada

\[\frac{3}{5}+\frac{4}{6}+\frac{1}{2}\]

\[\frac{3\cdot6}{5\cdot6}+\frac{4\cdot5}{6\cdot5}+\frac{1}{2}\]

\[\frac{18}{30}+\frac{20}{30}+\frac{1}{2}\]

\[\frac{38}{30}+\frac{1}{2}\]

Nos quedan dos fracciones, en este caso podemos multiplicar el 2 por el 15 de modo de igualar los denominadores,

\[\frac{38}{30}+\frac{1}{2}\]

\[\frac{38}{30}+\frac{1\cdot15}{2\cdot15}\]

\[\frac{38}{30}+\frac{15}{30}\]

\[\frac{53}{30}\]

Pasemos a la operación más sencilla de todas.

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones solo debemos hacerlo de forma horizontal, es decir, numerador con numerador y denominador con denominador. No nos importa que números haya en el denominador.

Ejemplo:

\[\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\]

\[\frac{4\cdot6}{5\cdot7}\]

\[\frac{24}{35}\]

La recomendación que siempre hago a mis estudiantes es, «antes de multiplicar, simplifique todo lo que se pueda, ya sea en una misma fracción o con otra»

Ejemplo:

\[\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{7}{4}\]

Iré simplificando con calma

\[\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{\textbf{7}}\cdot\frac{\textbf{7}}{4}\]

\[\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{1}\cdot\frac{1}{4}\]

\[\frac{\textbf{4}}{5}\cdot\frac{6}{1}\cdot\frac{1}{\textbf{4}}\]

\[\frac{1}{5}\cdot\frac{6}{1}\cdot\frac{1}{1}\]

\[\frac{6}{5}\]

División de fracciones

Nos vamos con la división, sin embargo, debo confesar que no sé dividir, todo lo transformo en multiplicación. 😎

Esto no es gratis para transformar la división en multiplicación, debemos invertir la segunda fracción (el divisor).

Ejemplo:

\[\frac{5}{6}:\frac{4}{5}\]

Mantenemos la primera fracción e invertimos la segunda

\[\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{4}\]

y multiplicamos

\[\frac{5\cdot5}{6\cdot4}\]

\[\frac{25}{24}\]

Si tuviéramos más de dos divisiones tendríamos que trabajar de dos en dos.

Suma de números decimales

Para sumar números decimales (aquellos que tienen coma) la regla a seguir es: ubicar la coma en la misma columna. Escribir esto es algo complicado por aquí, así que les mostraré mi hermosa caligrafía:

Se ubicó la coma una sobre la otra y luego completamos con los números, después de esto se suma como siempre.

Multiplicación de números decimales

Para multiplicar números decimales, seguimos el proceso habitual ignorando las comas, sin embargo, luego de terminada la multiplicación, contaremos cuántos decimales había en una inicio (números después de la coma, de ambos factores), esta cantidad nos indica los espacios que deberemos contar para ubicar la coma desde derecha a izquierda.

Habitualmente le digo a mis alumnos: «la multiplicación se trabaja desde la derecha y la división desde la izquierda.»

División de números decimales

La división de números decimales pudiera ser la más compleja ya que para lograr dividir debemos hacer desaparecer más coma. Esto se logra multiplicando ambos números por una potencia de 10, hasta que se haya ido la coma, ejemplo:

\[13,5:0,5\]

Tenemos suerte, hay solo un número decimal en cada uno. Vamos a multiplicar todo por 10 y nos queda

\[135:5\]

Este ejercicio es equivalente al anterior y mucho más fácil de resolver, este proceso se fundamenta en la amplificación.

Veamos otro ejemplo

\[13,53:0,35\]

Tenemos dos decimales en cada uno, multuplicaremos entonces por 100.

\[1353:35\]

Veamos ahora un ejemplo donde sean distintas cantidades de números decimales

\[13,533:0,3\]

Nos centramos en el número que más decimales tiene, el de la izquierda, son tres decimales, por lo que multiplicamos todo por 1000 y nos queda

\[13533:300\]

Resumiendo, multiplicamos por un 1 con tantos 0 como tenga el número con más decimales y al momento de multiplicar se mueve un espacio la coma por cada 0.

Animo que con la práctica se hará muy fácil. ❤️