Técnicas de conteo

¿Sabes contar?

así empecé mis clases estos días, claramente mis estudiantes respondían que Sí…

Por mi parte yo les respondí que me cuesta un poco contar y que para contar hay que saber leer muy bien…

Seguido les pregunté: ¿cuántas patentes de vehículos podemos formar con la combinación actual de 4 letras y 2 dígitos? O ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar los últimos 8 alumnos en una fila?

Después de estas preguntas me miraron y dijeron que tampoco sabían contar muy bien.

Las técnicas de conteo son precisamente técnicas que nos ayudan a contar y resolver problemas de este estilo.

En el colegio trabajamos principalmente con 3 y con dos principios (multiplicativo y aditivo).

Antes de ver cada una de las técnicas asegúrate de aprender estas preguntas de memoria:

  • ¿se utilizan todos los elementos?
  • ¿interesa el orden de los elementos?
  • ¿se repite algún elemento?

Las respuestas a estas preguntas definirán que técnica debemos emplear.

Factoriales

Si bien esto no es una de las técnicas de conteo, es fundamental tener un manejo básico de los factoriales. Veamos una breve definición:

Sea \(n\) un número natural. Se llama factorial de \(n\) al producto de los \(n\) primeros números naturales. La expresión \(n!\) se lee, n factorial. Es así que:

\(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot…\cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n\)

Propiedades

  • \(n!=n\cdot(n-1)!\)

Ejemplo:

\(7!=7\cdot6!\)

  • \(x!=n!\to x=n\)
  • \(\frac{n!}{n}=(n-1)!\)

Ejemplo:

\(\frac{5!}{5}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{5}=4\cdot3\cdot2\cdot1=4!\)

  • \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)

Ejemplo:

\(\frac{5!}{4!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=5\)

Los primeros factoriales

Esto no es muy difícil de calcular, pero nos ayudará a resolver más rápido el saber los primeros factoriales de memoria.

0! = 1; 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24;

5! = 120; 6! = 720; 7! = 5040; 8! = 40.320;

9! = 362.880; 10! = 3.628.800

Bueno reconozco que no me los sé todos de memoria pero si varios 😏 .

Principio Multiplicativo

Si un suceso ocurre de \(n_1\) maneras diferentes, el segundo suceso de \(n_2\) maneras diferentes y así sucesivamente hasta la última alternativa que puede realizarse de \(n_k\) maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre el suceso definido está dado por:

\[n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot\ …\cdot n_k\]

Ejemplo:

Si tengo tres camisas, cinco pantalones y cuatro corbatas. ¿De cuántas maneras distintas puedo combinar una camisa, un pantalón y una corbata?

Solución: \(3\cdot5\cdot4=60\) maneras diferentes

Principio Aditivo

Si un suceso tiene formas alternativas de llevarse a cabo, donde la primera de esas alternativas puede realizarse de \(m_1\) maneras, la segunda alternativa puede realizarse de \(m_2\) maneras, y así sucesivamente, hasta la última que puede realizarse de \(m_k\) maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es:

\[m_1+ m_2+ m_3 + …+ m_k\]

Ejemplo:

Si me quiero comprar un automóvil, puedo elegir entre distintas marcas y modelos. La marca A tiene 2 modelos y 3 colores, la marca B tiene 4 modelos y 5 colores disponibles. ¿De cuántas maneras posibles puedo elegir un automóvil?

Solución:

Marca A \(\to 2\cdot 3 = 6\)

Marca B \(\to 4\cdot 5 = 20\)

\( \to 6 + 20 = 26 \) maneras posibles de elegir un automóvil.

Permutación

¿Han leído alguna publicación que diga «se permuta 4×4 por carretilla desinflada», sin importar lo que se permute, se entiende por esto que se quiere realizar un «intercambio» entre estos dos artículos, es por esto que:

Una permutación es cuando utilizamos todos los elementos del conjunto y los ordenamos de distintas formas.

Permutación Simple

El número de permutaciones de \(n\) elementos está dado por:

\[P(n) = n!\]

Ejemplo:

Una familia tiene 3 niños y 2 niñas, ¿de cuántas formas pueden sentarse en una fila?

Solución:

\(n=5\) por lo tanto, \(P(5) = 5! = 120\) formas de sentarse en una fila.

¿cuántas formas habrá si los niños desean sentarse separados de las niñas?

Solución:

Si desean sentarse separados, hay dos formas de distribuirlos: HHHMM y MMHHH, para cada caso los niños pueden sentarse de \(3!\) formas diferentes y las niñas de \(2! \).

\(n_1=3\) (para los niños)

\(n_2=2\) (para las niñas)

\(n_3=2\) (para las dos formas)

luego

\(P(3,2,2)=3!\cdot 2! \cdot 2! = 24\) formas de sentarse.

Permutación Circular

Para este tipo especial de permutación, pensemos en la siguiente pregunta: ¿Cuál es el inicio de un circulo? ¿Cuál es su final?… después de filosofar un rato, entendemos que cualquier punto pudiera ser el inicio y el fin, por lo tanto, si queremos sentar personas en una mesa redonda, para definir el inicio, debemos anclar una de ellas en un lugar y luego distribuir al resto, es por esto que el número de permutaciones circulares de \(n\) elementos está dada por:

\[P_o(n)=(n-1)! \]

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda?

Solución:

Una persona puede sentarse en cualquier lugar, las otras 4 personas son las que pueden organizarse de \(4!\) maneras diferentes.

\(n=5 \to P_o(5)=(5-1)! = 4! = 24\) maneras distintas.

Permutación con repetición

El número de permutaciones de \(n\) elementos, cuando hay elementos repetidos está dada por:

\[P^n_r=\frac{n!}{a!\cdot b!\cdot c! \cdot … \cdot r!}\]

Lo importante aquí es determinar los elementos repetidos y saber cuántas veces se repiten, esos son los factoriales del denominador.

Ejemplo:

¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra BARBARA?

Solución:

Tenemos que las letras B, A y R se repiten 2, 3 y 2 veces respectivamente, con esto en mente sabemos que

\(n=7, r = 3\) por lo tanto

\[P^7_3 = \frac{7!}{2!\cdot 3!\cdot 2!}\]

\[= \frac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!\cdot 3! \cdot 2!}\]

\[=\frac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2!\cdot 1\cdot2!}\]

\[=\frac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2! \cdot 1\cdot2!}\]

\[=\frac{7\cdot 3 \cdot 5 \cdot 4}{2!}\]

\[=\frac{7\cdot 3\cdot 5 \cdot 4}{2\cdot 1}\]

\[=7\cdot 3 \cdot 5 \cdot 2\]

\[=210\]

Como pueden ver, al tener solo multiplicaciones podemos ir simplificando según nos convenga.

Variación

Una variación es el proceso de encontrar cuántos grupos diferentes se pueden formar con \(n\) elementos de modo que cada grupo tenga \(r\) elementos interesando el orden de estos. La variación se diferencia de la permutación, ya que aquí no utilizamos todos los elementos.

Variación Simple

La variación de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) está dada por:

\[V^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}\]

Ejemplo:

¿De cuántas formas se puede elegir un presidente, un secretario y un tesorero dentro de un grupo de 8 personas?

Solución:

Antes de escribir números respondamos las preguntas:

¿Se utilizan todos los elementos?: NO, porque formamos grupos de 3 en 3, de un total de 8 personas.

¿Interesa el orden en que salgan los elementos?: SÍ, porque no es lo mismo ser Presidente que Secretario o tesorero.

¿Hay elementos repetidos?: NO, porque nadie puede tener más de un cargo y además las personas son únicas ❤️ .

Ahora sí, resolvamos…

\(n=8, r=3\) por lo tanto

\[V_3^8=\frac{8!}{(8-3)!}\]

\[=\frac{8!}{5!}\]

\[=\frac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!}\]

\[=8\cdot 7 \cdot 6\]

\[=336\]

Se pueden elegir los tres cargos de 336 maneras diferentes.

Variación con repetición

Es la misma definición anterior, pero en este caso los elementos se pueden repetir, y está dada por:

\[V^n_r=n^r\]

Ejemplo:

¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los primeros 6 números naturales?

Solución:

Respondamos las preguntas:

¿Se utilizan todos los elementos?: NO, porque formamos grupos de 3 en 3, de un total de 6 números.

¿Interesa el orden en que salgan los elementos?: SÍ, porque no es lo mismo 123 que 321 o 132.

¿Hay elementos repetidos?: SÍ, porque podríamos tener los números 111, 222, etc..

Ahora sí, resolvamos…

\(n = 6, r=3\), por lo tanto

\[VR^6_3 = 6^3 = 216\]

Es así que se pueden formar 216 números de tres cifras.

Combinación

Una combinación es el proceso de encontrar la cantidad de grupos que se pueden formar con \(n\) elementos de modo que cada grupo tenga \(r\) elementos, no interesando el orden de éstos.

Combinación Simple

El número de combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) está dado por:

\[C^n_r=\frac{n!}{(n-r)!\cdot r!}\]

Ejemplo:

De un grupo de 8 personas, se deben seleccionar a 4 para invitarlos a almorzar ¿de cuántas formas se puede realizar la selección?

Solución:

Respondamos las preguntas:

¿Se utilizan todos los elementos?: NO, porque formamos grupos de 4 en 4, de un total de 8 personas.

¿Interesa el orden en que salgan los elementos?: NO, porque el grupo es igual si salen escogidos Felipe, Esteban, Pepito y Rodrigo que si salen Rodrigo, Felipe, Esteban y Pepito.

¿Hay elementos repetidos?: NO, porque las personas son únicas e irrepetibles (en este caso).

Ahora sí resolvamos…

\(n=8, r=4\) por lo tanto

\[C^8_4 = \frac{8!}{(8-4)!\cdot 4!}\]

\[= \frac{8!}{(4)!\cdot 4!}\]

\[= \frac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{(4)!\cdot 4!}\]

\[= \frac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 }{4!}\]

\[= \frac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 }{ 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

\[= 2\cdot 7 \cdot 1 \cdot 5 \]

\[= 70 \]

Se podrían invitar de 70 formas distintas.

Combinación con repetición

Es la misma definición anterior, pero en este caso los elementos se pueden repetir, y está dada por:

\[CR^n_r=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}\]

Ejemplo:

En una bodega hay 4 tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 de ellas?

Respondamos las preguntas:

¿Se utilizan todos los elementos?: NO, porque formamos grupos de 3 en 3, de un total de 4 tipos de botellas.

¿Interesa el orden en que salgan los elementos?: NO, porque el grupo es igual si salen escogidas Bebidas, Vino, Cerveza que si salen Cerveza, Vino y Bebidas.

¿Hay elementos repetidos?: SÍ, porque no hay restricción para el tipo de botella podrían ser todas de Bebidas.

Ahora sí resolvamos…

\(n=4, r=3\) por lo tanto

\[CR^4_3=\frac{(4+3-1)!}{3!(4-1)!}\]

\[=\frac{(6)!}{3!(3)!}\]

\[=\frac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!\cdot 3!}\]

\[=\frac{6\cdot 5 \cdot 4 }{3!}\]

\[=\frac{6\cdot 5 \cdot 4 }{3\cdot 2 \cdot 1}\]

\[= 5 \cdot 4 \]

\[= 20 \]

Podríamos escoger las botellas de 20 formas diferentes.

Esquema Resumen

Este esquema no es creación propia, sin embargo, creo que es excelente:

(pueden pinchar la imagen para ir al recurso)

Ejercicios Resueltos

Problema 1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

Solución: Respondamos las tres preguntas fundamentales

  • ¿Se utilizan todos los elementos?

No! ya que formaremos grupos de a 3 (cada uno de los cargos)

  • ¿Importa el orden en qué son elegidos?

Sí! ya que no es lo mismo ser escogido presidente que tesorero.

  • ¿Se repiten los elementos?

No! ya que son personas y los cargos son únicos.

Conclusión: Debemos utilizar una Variación \(V^{12}_3\)

\[V^{12}_3=\frac{12!}{(12-3)!}\]

\[V^{12}_3=\frac{12\cdot 11\cdot 10 \cdot 9!}{9!}\]

\[V^{12}_3=12\cdot 11\cdot 10\]

\[V^{12}_3=1320\]

Problema 2. Con las letras de la palabra libro. ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que comiencen por vocal?

Solución: Para resolver este problema debemos considerar la condición que nos colocan, ¿cuántas vocales tenemos?, 2, podemos representarlo así

\[i \text{ _ _ _ _}\]

\[o \text{_ _ _ _}\]

tenemos dos opciones y una vez que hemos seleccionado una vocal, nos quedan cuatro espacios que completar con cuatro letras, es decir, utilizamos todos los elementos restantes, esto es una permutación simple \(P(4)\) ya que además ninguna letra se repite.

\[2\cdot 4!=\]
\[2\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=\]

\[48\]

Problema 3. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares \({1,3,5,7,9}\) y ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Solución: Tenemos dos preguntas, para resolver la primera respondemos las 3 preguntas

  • ¿Se utilizan todos los elementos?

Sí! ya que nos piden formar números de cinco cifras distintas. Con esta respuesta ya nos ubicamos en una permutación \(P(5)\)

  • ¿Se repiten los elementos?

No! ya que nos piden que el número sea de cifras distintas.

Conclusión: Debemos utilizar una Permutación Simple \(P(5)\)

\[P(5)=5!\]

\[P(5)=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

\[P(5)=120\]

Para la segunda pregunta ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?, debemos identificar qué cifras producen números mayores a 70.000, es decir, aquellas que inicien con la cifras 7 o 9.

Por lo tanto al igual que en la pregunta de la palabra LIBRO, tenemos dos opciones

\[7\text{ _ _ _ _}\]

\[9 \text{_ _ _ _}\]

una vez que hemos seleccionado una cifra, nos quedan cuatro espacios que completar con cuatro cifras, es decir, utilizamos todos los elementos restantes, esto es una permutación simple \(P(4)\) ya que además ningun número se repite.

\[2\cdot 4!=\]
\[2\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=\]

\[48\]

Problema 4. Si una persona tiene en su closet 5 poleras, 3 pantalones y 4 chaquetas ¿de cuántas formas distintas puede combinar una polera, un pantalón y una chaqueta?

Solución: Para resolver esta pregunta solo utilizamos el principio multiplicativo ya que tenemos varias opciones de las cuales seleccionar un elemento.

Combinaciones distintas\(= 5 \cdot 3 \cdot 4\)

Combinaciones distintas\(= 60\)

Problema 5. ¿Cuántas apuestas de Loto han de realizarse para asegurar el acierto de los seis resultados de 36 números?

Solución: Para resolver esta pregunta debemos conocer el sistema del loto, la persona compra un cartón con 6 números (1, 12, 35, etc.) a su elección, la persona gana si salen elegidos todos sus números, por lo cual solo le interesa que sean nombrados y no en que orden salgan.

  • ¿Se utilizan todos los elementos?

No! ya que formaremos grupos de a 6 por cartón.

  • ¿Importa el orden en qué son elegidos?

No! ya que solo nos interesa que salgan escogidos todos nuestros números.

  • ¿Se repiten los elementos?

No! ya que no podemos elegir números repetidos en nuestro cartón.

Conclusión: Debemos utilizar una Combinación \(C^{36}_6\)

\[C^{36}_6=\frac{36!}{(36-6)!\cdot 6!}\]

\[C^{36}_6=\frac{36!}{30!\cdot 6!}\]

\[C^{36}_6=\frac{36\cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30!}{30!\cdot 6!}\]

\[C^{36}_6=\frac{36\cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

\[C^{36}_6=6\cdot 7 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 8 \cdot 31\]

\[C^{36}_6=1.947.792\]

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