Teorema de Pitágoras

¿Qué es el Teorema de Pitágoras? ¿Qué son los triángulos rectángulos? ¿Qué es la hipotenusa y los catetos? ¿Cómo se calcula la hipotenusa y los catetos?

Si no sabes como responder estas preguntas, llegaste al lugar indicado, vamos a darle un repaso a cada una y al final del Post les dejo un video explicativo :D.

Definición del Teorema de Pitágoras

En primer lugar debemos entender qué cosa es un teorema, en palabras sencillas un teorema es una afirmación (proposición) que puede ser demostrada lógicamente a partir de reglas establecidas (axiomas).

En consecuencia el Teorema de Pitágoras es una afirmación demostrable planteada por Pitágoras, bueno por él o alguno de los miembros de su escuela (Pitagóricos), que relaciona las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, el teorema dice:

«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos»

Respondamos la segunda pregunta

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Un triángulo rectángulo, es un triángulo que posee un ángulo recto, es decir, que tiene un ángulo de 90°.

Solemos otorgarle a las medidas de sus lados las letras \(a\), \(b\) y \(c\), donde \(c\) corresponde a la hipotenusa y las letras \(a\) y \(b\) a los catetos.

Con las letras otorgadas el Teorema de Pitágoras queda expresado como:

\[c^2=a^2+b^2\]

Veamos una imagen más sobre esto

En la imagen se ve claramente como al calcular las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados del triángulo cumplen el Teorema, en el video que sigue a continuación les muestro esto y una pequeña ampliación del Teorema.

Video Explicativo

En este pequeño video hice hace un tiempo una pequeña Demostración del Teorema de Pitágoras, espero que al verlo les ayude y les quede aún más claro todo!

Demostración del Teorema de Pitágoras con GeoGebra

Teorema Inverso o Recíproco del Teorema de Pitágoras

Podemos plantear además el Inverso al Teorema, esto es algo muy utilizado en la Construcción, mi abuelo fue un «Maestro» carpintero y albañil, dudo que supiera la Teoría detrás de esto pero el se guiaba por sus medidas, decía: «Para asegurar que una esquina me quedó cuadrada, debo medir 3 metros para un lado y 4 para el otro» con esto se aseguraba que se formara el famoso Triángulo Rectángulo 3, 4 y 5 (un trío Pitagórico) o bien cuando necesitaba medidas mayores multiplicaba estos lados y decía: «si tengo 6 y 8, entonces la diagonal es 10». Muchos aún aplican esto.

El teorema reciproco dice:

«Si en un triángulo se cumple que el cuadrado del lado de mayor longitud es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces dicho triángulo es rectángulo»

Tríos Pitagóricos

Triángulos Rectángulos existen muuuuchos, todos los que quieran imaginarse, sin embargo, hay algunos que podemos aprendernos de memoria y que generan a otros infinitos triángulos. Si ustedes los aprenden pueden acelerar muchos cálculos. Personalmente me sé 3, pero seguro hay más, estos son los más usados:

  1. \[3, 4, 5\]
  2. \[5,12,13\]
  3. \[8,15,17\]

Demostraré como funciona el primero y bueno los otros dos funcionan de la misma manera.

Trío 3, 4 y 5

Demostremos en primer lugar que las medidas cumplen el Teorema de Pitágoras (claramente el número mayor corresponde a la hipotenusa)

\[5^2=3^2+4^2\]

\[25=9+16\]

\[25=25\]

Funciona perfecto!

Ahora a partir de este trío podemos construir otro triángulo multiplicando las medidas por un mismo factor, por ejemplo, multipliquemos todo por 2:

Entonces, si tengo un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8, aseguro que su hipotenusa mide 10, veamos

\[10^2=6^2+8^2\]

\[100=36+64\]

\[100=100\]

Super!

Veamos un último ejemplo, multipliquemos el 3, 4 y 5 por 4, se nos genera el triángulo 12, 16 y 20.

\[20^2=12^2+16^2\]

\[400=144+256\]

\[400=400\]

Genial!

(Si no recuerdan las potencias vayan a ver el post! :D)

Calcular la Hipotenusa y los Catetos

Ya les he mostrado como calcular la hipotenusa, veremos algunos otros ejemplos y también hallaremos la medida de catetos.

  • Si los catetos miden 8 cm y 15 cm ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Solución:

Para seguir con la misma escritura, la hipotenusa será la letra \(c\), por lo tanto

\[c^2=8^2+15^2\]

\[c^2=64+225\]

\[c^2=289\]

\[c=17\]

La hipotenusa mide 17 cm.

  • Si un cateto mide 12 cm y la hipotenusa mide 15 cm ¿Cuánto mide el otro cateto?

Solución

La ecuación nos cambia un poquito, pero veamos como se resuelve

\[15^2=12^2+b^2\]

\[225=144+b^2\]

\[81=b^2\]

\[9=b\]

El cateto mide 9 cm.

Problemas con el Teorema de Pitágoras

Veamos algunos problemas en los que debemos utilizar el Teorema de Pitágoras, busqué varios que aparecieran en PAES :D.

Solución:

Tenemos un triángulo rectángulo y directamente nos indican que debemos calcular la medida de uno de los catetos, la dificultad está en ir descubriendo las medidas con la información dada.

Se nos dice que el cateto en contacto con la repisa es \(\frac{2}{3}\) del ancho de la repisa, es decir, de 30 cm.

\[\frac{2}{3}\cdot 30=20\]

El cateto mide 20 cm.

La hipotenusa mide el doble que este cateto, es decir, 40 cm.

Con esta información planteamos la ecuación (con Pitágoras) y descubrimos la medida faltante

\[40^2=20^2+b^2\]

\[1600=400+b^2\]

\[1200=b^2\]

\[\sqrt{1200}=b\]

\[\sqrt{4\cdot 100\cdot 3}=b\]

\[2\cdot 10\sqrt{3}=b\]

\[20\sqrt{3}\]

Letra C.

Solución:

En este caso nos dan a conocer un cateto y la hipotenusa, planteamos Pitágoras y obtenemos la medida faltante.

\[15^2=12^2+b^2\]

\[225=144+b^2\]

\[81=b^2\]

\[9=b\]

Letra A.

Solución:

Para resolver determinamos la cantidad de metros que requiere para confeccionar un logo y luego dividimos el total de metros en esta cantidad.

En ambos casos se nos presentan tríos pitagóricos, los catetos miden 3 y 4 por lo tanto su hipotenusa mide 5 metros.

Cantidad de metros para la N:

\[4+4+5=13\]

Cantidad de metros para la X:

\[5+5=10\]

El logo completo utiliza 23 metros

Por lo tanto, con los 50 metros que tiene puede crear solo dos logos.

Letra C.

Solución:

Aquí debemos utilizar el Teorema Recíproco de Pitágoras.

Si se cumple la relación, entonces podemos asegurar que el ángulo formado es recto (perpendicular).

La ecuación está despejada y la hipotenusa (Distancia de A a B) queda en la izquierda, los catetos son \(AO\) y \(BO\).

\[D_{AB}=\sqrt{AO^2+OB^2}\]

Letra B.

Solución:

Como las cajas son cubos, cada una de sus aristas mide lo mismo, por lo tanto podemos reducir el problema a determinar la diagonal de un cuadrado de lado \(h\)

Quiero resumir aún mas el problema en calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles (ambos catetos miden lo mismo).

Planteamos la ecuación:

\[d^2=h^2+h^2\]

Debemos despejar \(d\)

\[d^2=2h^2\]

\[d=\sqrt{2h^2}\]

\[d=h\sqrt{2}\]

Letra A.

Con estos ejemplos resueltos de PAES anteriores cierro el Post, espero que les sirva y les haya quedado mucho más claro, no olviden compartirlo con sus compañeros que estén más perdidos en esto :D.

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