Números Enteros

Vamos con una sección que a todos y cuando digo todos, es a todos mis alumnos les ha sacado una cana verde en alguna ocasión.

El famoso tema de los signos, es habitual escuchar frases como: «siempre me equivoco en los signos» o «a pero profe si me equivoque en un signo no más » y si bien es un solo signo, eso destruye todo el resultado. Piénsalo bien, no es lo mismo tener 1.000.000 de pesos que -1.000.000 de pesos en la cuenta.

Sé que este conjunto numérico tiene mucho más que enseñar, pero me limitaré a temas puntuales.

Primero, ¿qué números conforman este conjunto y ¿qué símbolo se utiliza para representarlo?

\[Z=\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3…\}\]

Tenemos entonces, los números positivos y negativos junto con el 0, dejamos fuera todos los decimales que se ubican entre ellos (los estudiaremos en otro post)

Reglas de los signos

aquí viene lo bueno, ¿cómo se suman dos números negativos? O ¿uno negativo con uno positivo? ¿siempre que aparecen signos iguales el resultado es positivo? Vamos paso a paso.

Suma de números enteros de igual signo

  • La regla dice: «para sumar números de igual signo, debemos conservar el signo y sumar sus módulos» (para los amigos, el módulo de un número significa considerar el número siempre positivo)
  • La regla en buen chileno sería: «súmelos y conserve el signo»

Ejemplo:

\[-15 + (-5)=-20\]

El ejercicio anterior es equivalente con

\[-15 -5=-20\]

Suma de números enteros de distinto signo

  • La regla dice: «para sumar números de distinto signo, se restan sus módulos y se conserva el signo de aquel número que tiene mayor módulo».
  • La regla en buen chileno sería: «réstelos y conserve el signo del mayor».

Ejemplo 1:

\[-16+5=-11\]

Ejemplo 2:

\[20+(-7)=13\]

Este ejemplo es equivalente a

\[20-7=13\]

Quiero aprovechar esto último para plantear la pregunta ¿y cómo se hace la resta?

Buena pregunta, pero un profesor un día me dijo, «técnicamente la resta no existe, ya que podemos escribirla siempre como una suma de un inverso aditivo» y yo dije: «Khe!»

Veamos, si tenemos \(25-12=\), esto puede ser escrito como

\[25+(-12)=\]

Y volvemos a la suma de números de distinto signo. Restamos y conservamos el signo del mayor.

\[25+(-12)=13\]

Claramente esto es dar un paso extra en cada desarrollo por lo cual preferimos que se lo salten y aprendan a resolver

\(25-12=\) o \(-12+25=\)

Multiplicación y división de números enteros

La multiplicación y la división en temas de signos funcionan igual.

Tenemos dos reglas:

  1. Al multiplicar o dividir números de igual signo el resultado será positivo.
  2. Al multiplicar o dividir números de distinto signo el resultado será negativo.

Ejemplos

\[-20\cdot-10=200\]

\[-20\cdot10=-200\]

\[-45:-9=5\]

\[-45:9=-5\]

\[16\cdot-3=-48\]

\[16:-8=-2\]

Espero que con las reglas claras no vuelvas a sufrir con los signos, ahora pasaremos a hablar del uso de paréntesis y resolver algunos ejemplos típicos de prueba.

Uso de Paréntesis

Vamos con otro tema que hace sufrir a los estudiantes, los famosos paréntesis, son aquellos que delimitan ejercicios muy largos y que se priorizan en cada desarrollo.

Para resolverlos pueden haber muchos caminos, sin embargo, debemos recordar un punto MUY importante.

Un signo negativo – fuera de un paréntesis cambiará todos los signos del interior, esto suele verse muy frecuentemente en el álgebra, pero también con números enteros.

Vamos con los ejemplos

Ejemplo 1:

\[-3-[-2+5-\{-3-3+2-(5-8)\}]\]

🤯😟😵‍💫🥲, después de llorar un segundo, vamos!

Iremos resolviendo poco a poco, aconsejo, pero obvio es solo un consejo, ir resolviendo desde el interior hacia el exterior.

\[-3-[-2+5-\{-3-3+2-(-3)\}]\]

\[-3-[-2+5-\{-3-3+2+3\}]\]

\[-3-[-2+5-\{-6+5\}]\]

en el paso anterior resolvimos «juntando» los negativos con negativos y positivos con positivos. Sigamos.

\[-3-[-2+5-\{-1\}]\]

\[-3-[-2+5+1]\]

\[-3-[-2+6]\]

\[-3-[4]\]

\[-3-4\]

\[-7\]

Se logró!!

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