¿Alguna vez te has puesto a pensar cómo se calcula la cantidad de agua en una piscina olímpica? ¿O cuánto helado cabe en un cono? ¡El volumen de prismas y cilindros es la clave para desvelar estos misterios cotidianos! 🏊♂️🍦
En esta aventura matemática, vamos a:
- 🧠 Desentrañar los conceptos básicos de volumen en prismas y cilindros
- 🔢 Dominar las fórmulas para calcular volúmenes con precisión
- 🏆 Resolver problemas del mundo real usando estos conceptos
- 🚀 Prepararte para destacar en la sección de geometría de la PAES
Practica estos ejercicios y conviértete en un maestro de la geometría 3D! 🏆🧠
Conceptos Básicos del Volumen
- Prismas Rectos:
- Un prisma recto es un sólido geométrico con dos bases paralelas e iguales y caras laterales que son rectángulos. Las bases pueden ser triángulos, rectángulos, pentágonos, etc.
- Cilindros:
- Un cilindro es un prisma recto con bases circulares.
Fórmulas Generales
Volumen de un Prisma Recto
El volumen de un prisma recto se calcula multiplicando el área de la base por la altura del prisma.
\[ V = A_{\text{base}} \times h \]
- Área de la base (\(A_{\text{base}}\)): Dependerá de la forma de la base.
Ejemplos de Volumen de Prismas Rectos:
1. Prisma Triangular
- Si la base es un triángulo con base \( b \) y altura \( h_{\text{triángulo}} \):
\[ A_{\text{base}} = \frac{1}{2} b \times h_{\text{triángulo}} \]- Volumen:
\[ V = \left(\frac{1}{2} b \times h_{\text{triángulo}}\right) \times h \]2. Prisma Rectangular (Cuboide)
- Si la base es un rectángulo con lados \( l \) y \( w \):
\[ A_{\text{base}} = l \times w \]- Volumen:
\[ V = (l \times w) \times h \]3. Prisma Pentagonal
- Si la base es un pentágono, calcula su área (\( A_{\text{pentágono}} \)).
- Volumen:
\[ V = A_{\text{pentágono}} \times h \]
Volumen de un Cilindro
El volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de la base circular por la altura del cilindro.
\[ V = A_{\text{base}} \times h \]
- Área de la base (\(A_{\text{base}}\)): Para un círculo de radio \( r \):
\[ A_{\text{base}} = \pi r^2 \]- Volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2 h \]
Ejercicios
Ejercicio 1: Volumen de un Prisma Triangular
Problema: Calcula el volumen de un prisma triangular cuya base tiene una base de 6 cm y altura de 4 cm, y la altura del prisma es de 10 cm.
Solución:
- Área de la base (triángulo):
\[ A_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, \text{cm}^2 \] - Volumen:
\[ V = 12 \times 10 = 120 \, \text{cm}^3 \]
Ejercicio 2: Volumen de un Prisma Rectangular
Problema: Calcula el volumen de un prisma rectangular con una base de 8 cm por 5 cm y una altura de 15 cm.
Solución:
- Área de la base (rectángulo):
\[ A_{\text{base}} = 8 \times 5 = 40 \, \text{cm}^2 \] - Volumen:
\[ V = 40 \times 15 = 600 \, \text{cm}^3 \]
Ejercicio 3: Volumen de un Cilindro
Problema: Calcula el volumen de un cilindro con un radio de 7 cm y una altura de 12 cm.
Solución:
- Área de la base (círculo):
\[ A_{\text{base}} = \pi \times 7^2 = 49\pi \, \text{cm}^2 \] - Volumen:
\[ V = 49\pi \times 12 = 588\pi \, \text{cm}^3 \approx 1847.3 \, \text{cm}^3 \]
Ejercicio 4: Volumen de un Prisma Pentagonal
Problema: Calcula el volumen de un prisma pentagonal cuya base tiene un área de 30 cm² y una altura de 20 cm.
Solución:
- Área de la base:
\[ A_{\text{base}} = 30 \, \text{cm}^2 \] - Volumen:
\[ V = 30 \times 20 = 600 \, \text{cm}^3 \]
Aplicaciones
Ejercicio 1: El Acuario Triangular
Problema: El Acuario Nacional de Chile quiere construir un tanque en forma de prisma triangular para una nueva exhibición de peces nativos. La base del tanque es un triángulo con una base de 3 metros y una altura de 2 metros. Si el tanque tendrá una altura de 4 metros, ¿cuánta agua podrá contener?
Solución:
- Área de la base (triángulo): A = (1/2) × 3 × 2 = 3 m²
- Volumen: V = 3 × 4 = 12 m³
¡El tanque podrá contener 12 metros cúbicos o 12,000 litros de agua!
Aplicación: Este cálculo es crucial en biología marina y diseño de acuarios para garantizar un hábitat adecuado para las especies acuáticas.
Ejercicio 2: La Torre de Agua Cilíndrica
Problema: Una comunidad en el desierto de Atacama necesita construir una torre de agua cilíndrica. Si la torre debe almacenar 100,000 litros de agua y tener una altura de 10 metros, ¿cuál debe ser el radio de la base?
Solución:
- Convertimos 100,000 litros a metros cúbicos: 100 m³
- Usamos la fórmula del volumen del cilindro: V = πr²h
- 100 = π × r² × 10
- r² = 100 / (10π) ≈ 3.18
- r ≈ 1.78 metros
La torre de agua necesita un radio de aproximadamente 1.78 metros en su base.
Aplicación: Este tipo de cálculo es fundamental en ingeniería civil y planificación urbana, especialmente en regiones con escasez de agua.