Desde diseñar logotipos hasta crear simulaciones de física, las transformaciones geométricas son una herramienta esencial en diversos campos. En esta lección, te enseñaremos cómo aplicar las rotaciones, traslaciones y reflexiones para manipular figuras geométricas en el plano. A través de ejemplos prácticos y ejercicios, comprenderás cómo estas transformaciones pueden ayudarte a resolver problemas y a crear diseños innovadores.

Vamos a explorar el tema de Rotación, Traslación y Reflexión de Figuras Geométricas, que son transformaciones básicas utilizadas en geometría. 

Conceptos Básicos de Transformaciones Isométricas

Estas transformaciones nos permiten mover y modificar figuras en el plano sin cambiar su forma ni tamaño.

Traslación

• Una traslación mueve una figura en el plano sin rotarla ni reflejarla. Se desplaza todos los puntos de la figura una misma distancia en una misma dirección.
  
• Fórmula de Traslación: Para trasladar un punto \((x, y)\) a \((x’, y’)\), se suma un vector de traslación \((a, b)\):
  
  \[ (x’, y’) = (x + a, y + b) \]
  
• Ejemplo: Si trasladamos el punto \((3, 4)\) con el vector \((2, -1)\), el nuevo punto será:
  
  \[ (3 + 2, 4 – 1) = (5, 3) \]

Rotación

• Una rotación gira una figura alrededor de un punto fijo, generalmente el origen \((0, 0)\), pero puede ser cualquier otro punto.
  
• Fórmula de Rotación: Para rotar un punto \((x, y)\) un ángulo \(\theta\) alrededor del origen:
  
  \[ (x’, y’) = (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta) \]
  
• Ejemplo: Rotar el punto \((1, 0)\) 90° en sentido antihorario:
  
  \[ (x’, y’) = (1 \times \cos 90° – 0 \times \sin 90°, 1 \times \sin 90° + 0 \times \cos 90°) = (0, 1) \]

Reflexión

• Una reflexión refleja una figura a través de una línea (eje de simetría), como el eje \(x\), el eje \(y\), o cualquier línea dada.
  
• Fórmulas de Reflexión:
  
  • Reflexión sobre el eje \(x\): \( (x’, y’) = (x, -y) \).
  • Reflexión sobre el eje \(y\): \( (x’, y’) = (-x, y) \).
  • Reflexión sobre la recta \( y = x \): \( (x’, y’) = (y, x) \).
• Ejemplo: Reflejar el punto \((2, 3)\) sobre el eje \(x\):
  
  \[ (x’, y’) = (2, -3) \]

Ejercicios

Ejercicio 1: Traslación de una Figura

Problema: Traslada el triángulo con vértices en \( A(1, 2) \), \( B(3, 5) \), y \( C(4, 2) \) usando el vector de traslación \((2, -1)\).

Solución:

1. Trasladamos cada vértice sumando el vector de traslación:
   • \( A'(1 + 2, 2 – 1) = (3, 1) \).
   • \( B'(3 + 2, 5 – 1) = (5, 4) \).
   • \( C'(4 + 2, 2 – 1) = (6, 1) \).
2. El nuevo triángulo tiene vértices en \( A'(3, 1) \), \( B'(5, 4) \), y \( C'(6, 1) \).

Aplicación: La traslación es común en la programación de gráficos por computadora para mover objetos en la pantalla.

Ejercicio 2: Rotación de un Punto

Problema: Rota el punto \( P(2, 3) \) 180° alrededor del origen.

Solución:

1. Usamos la fórmula de rotación con \(\theta = 180°\):
   
   \[ (x’, y’) = (2 \cos 180° – 3 \sin 180°, 2 \sin 180° + 3 \cos 180°) \]
   
2. Calculamos los valores:
   
   \[ (x’, y’) = (2 \times -1 – 3 \times 0, 2 \times 0 + 3 \times -1) = (-2, -3) \]
   

Aplicación: Las rotaciones se utilizan en robótica y diseño mecánico para calcular el movimiento de piezas giratorias.

Ejercicio 3: Reflexión sobre el Eje \( y = x \)

Problema: Refleja el punto \( Q(4, 2) \) sobre la línea \( y = x \).

Solución:

1. Usamos la fórmula de reflexión sobre \( y = x \):
   
   \[ (x’, y’) = (y, x) \]
   
2. Aplicamos los valores:
   
   \[ (x’, y’) = (2, 4) \]
   

Aplicación Real: Las reflexiones se usan en gráficos por computadora y en la creación de patrones simétricos en diseño.

Ejercicio 4: Combinación de Transformaciones

Problema: Traslada el punto \( (3, 4) \) por el vector \((1, 2)\) y luego rota el resultado 90° en sentido antihorario.

Solución:

1. Traslación:
   
   \[ (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6) \]
   
2. Rotación 90° antihorario:
   
   \[ (x’, y’) = (4 \cos 90° – 6 \sin 90°, 4 \sin 90° + 6 \cos 90°) = (-6, 4) \]
   

Aplicación: Esta combinación es útil en gráficos animados y simulaciones de movimiento.