¿Por qué algunos equipos de fútbol ganan más partidos que otros? ¿Por qué el clima cambia constantemente? La respuesta está en la probabilidad. Esta rama de las matemáticas nos ayuda a entender y cuantificar la incertidumbre, permitiéndonos tomar decisiones más informadas en la vida cotidiana. En esta guía, exploraremos las reglas fundamentales de la probabilidad y aprenderemos a calcular la probabilidad de eventos, desde lanzar una moneda hasta predecir el resultado de un experimento científico.

Vamos a explorar el tema de las Reglas de las Probabilidades, un concepto fundamental en matemáticas que nos permite calcular la probabilidad de eventos en situaciones de incertidumbre. Estas reglas son esenciales en áreas como la estadística, la ciencia de datos, la toma de decisiones y el análisis de riesgos.

Conceptos Básicos de Probabilidad

Probabilidad de un Evento

• La probabilidad de un evento \( A \) es una medida de la posibilidad de que ocurra ese evento.
  
• Se calcula como:
  
  \[ P(A) = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados posibles}} \]
  
• Ejemplo: Si lanzamos un dado, la probabilidad de obtener un 3 es:
  
  \[ P(3) = \frac{1}{6} \]
  

Reglas Fundamentales de la Probabilidad

Regla de la Probabilidad Complementaria

• La probabilidad de que un evento no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra.
  
  \[ P(\overline{A}) = 1 – P(A) \]
  
• Ejemplo: Si la probabilidad de que llueva es 0.3, la probabilidad de que no llueva es:
  
  \[ P(\overline{\text{lluvia}}) = 1 – 0.3 = 0.7 \]
  

Regla de la Suma (Eventos Mutuamente Excluyentes)

• Si dos eventos \( A \) y \( B \) no pueden ocurrir al mismo tiempo (son mutuamente excluyentes), la probabilidad de que ocurra uno u otro es:
  
  \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
  
• Ejemplo: Al lanzar un dado, la probabilidad de obtener un 2 o un 5 es:
  
  \[ P(2 \cup 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
  

Regla de la Suma (Eventos No Mutuamente Excluyentes)

• Si los eventos \( A \) y \( B \) pueden ocurrir simultáneamente, la probabilidad de que ocurra uno u otro es:
  
  \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
  
• Ejemplo: En una baraja de cartas, la probabilidad de sacar un corazón o una figura (rey, reina, jota) es:
  
  \[ P(\text{corazón} \cup \text{figura}) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} – \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \]
  

Regla del Producto (Eventos Independientes)

• Si dos eventos \( A \) y \( B \) son independientes (la ocurrencia de uno no afecta al otro), la probabilidad de que ambos ocurran es:
  
  \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
  
• Ejemplo: Lanzar una moneda y un dado. La probabilidad de obtener una cara y un 4 es:
  
  \[ P(\text{cara} \cap 4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \]
  

Regla del Producto (Eventos Dependientes)

• Si \( A \) y \( B \) son dependientes, la probabilidad de que ambos ocurran es:
  
  \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B | A) \]
  
• Ejemplo: Extraer dos cartas consecutivas de una baraja sin reposición y que ambas sean ases:
  
  \[ P(\text{primer as}) = \frac{4}{52}, \quad P(\text{segundo as} | \text{primer as}) = \frac{3}{51} \]
  
  \[ P(\text{dos ases}) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221} \]
  

Regla de Bayes

• Permite calcular la probabilidad de un evento \( A \) dado que otro evento \( B \) ya ha ocurrido:
  
  \[ P(A | B) = \frac{P(B | A) \times P(A)}{P(B)} \]
  

Ejercicios

Ejercicio 1: Probabilidad de Lanzar un Dado

Problema: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un 3 al lanzar un dado?

Solución:

1. Los números pares son: 2, 4, y 6.
2. Los números favorables son 2, 3, 4, y 6.
3. Total de resultados: 6.

\[ P(\text{par} \cup 3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Ejercicio 2: Extraer Bolas de una Bolsa

Problema: Una bolsa contiene 3 bolas rojas y 2 bolas azules. Se extrae una bola, se observa y se vuelve a colocar. Luego, se extrae otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

Solución:

1. Probabilidad de la primera bola roja: \( \frac{3}{5} \).
2. Probabilidad de la segunda bola roja: \( \frac{3}{5} \).

\[ P(\text{roja} \cap \text{roja}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \]

Ejercicio 3: Problema con Cartas

Problema: ¿Cuál es la probabilidad de sacar un rey o una carta roja de una baraja estándar?

Solución:

1. Hay 4 reyes y 26 cartas rojas en total, pero 2 reyes son rojos.

\[ P(\text{rey} \cup \text{roja}) = \frac{4}{52} + \frac{26}{52} – \frac{2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13} \]