¿Alguna vez has jugado un videojuego y quieres mover a tu personaje de un punto a otro en la pantalla? ¿Cómo le indicas al ordenador hacia dónde debe ir? ¡Exacto! Utilizando coordenadas, que son la base para entender los puntos en un plano. ️ Y si quieres que tu personaje se mueva en una dirección específica, necesitarás conocer los vectores. ➡️ En esta clase, aprenderemos a dominar estas herramientas matemáticas que están presentes en muchas de las actividades que realizamos a diario! ⚽️
¡Vamos a revisar el tema de Puntos y Vectores en el Plano! Este es un concepto A continuación, desarrollaremos los conceptos clave y veremos cómo se aplican en ejercicios prácticos.
Conceptos
Fundamentales en la geometría y el álgebra vectorial, son utilizados para describir la posición y la dirección en un espacio bidimensional.
Puntos en el Plano:
- Un punto en el plano se representa por un par de coordenadas \((x, y)\), donde:
- \(x\) es la coordenada en el eje horizontal (eje \(x\)).
- \(y\) es la coordenada en el eje vertical (eje \(y\)).
- Ejemplo: El punto \((3, 4)\) está ubicado 3 unidades a la derecha del origen y 4 unidades hacia arriba.
Vectores en el Plano:
- Un vector en el plano se representa como un segmento de recta dirigido con un punto de inicio (origen) y un punto de fin (extremo).
- Se denota generalmente como \(\vec{v} = (x, y)\), donde \(x\) y \(y\) indican cuánto se desplaza en cada dirección.
- Los vectores tienen módulo (longitud), dirección, y sentido.
Operaciones con Vectores
Suma de Vectores:
- Para sumar dos vectores \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) y \(\vec{v} = (v_1, v_2)\):
\[ \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) \]- Ejemplo: Si \(\vec{u} = (2, 3)\) y \(\vec{v} = (4, 1)\), entonces:
\[ \vec{u} + \vec{v} = (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4) \]
Resta de Vectores:
- Para restar dos vectores \(\vec{u} – \vec{v}\):
\[ \vec{u} – \vec{v} = (u_1 – v_1, u_2 – v_2) \]- Ejemplo: Si \(\vec{u} = (5, 7)\) y \(\vec{v} = (2, 3)\), entonces:
\[ \vec{u} – \vec{v} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4) \]
Producto de un Vector por un Escalar:
- Multiplicar un vector por un número real \(k\):
\[ k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2) \]- Ejemplo: Si \(\vec{v} = (3, 4)\) y \(k = 2\), entonces:
\[ 2 \cdot (3, 4) = (6, 8) \]
Producto de un Vector por un Escalar:
- Multiplicar un vector por un número real \(k\):
\[ k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2) \]- Ejemplo: Si \(\vec{v} = (3, 4)\) y \(k = 2\), entonces:
\[ 2 \cdot (3, 4) = (6, 8) \]
Producto de un Vector por un Escalar:
- Multiplicar un vector por un número real \(k\):
\[ k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2) \]- Ejemplo: Si \(\vec{v} = (3, 4)\) y \(k = 2\), entonces:
\[ 2 \cdot (3, 4) = (6, 8) \]
Producto de un Vector por un Escalar:
- Multiplicar un vector por un número real \(k\):
\[ k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2) \]- Ejemplo: Si \(\vec{v} = (3, 4)\) y \(k = 2\), entonces:
\[ 2 \cdot (3, 4) = (6, 8) \]
Módulo de un Vector:
- La longitud o módulo de un vector \(\vec{v} = (x, y)\) se calcula como:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]- Ejemplo: Si \(\vec{v} = (3, 4)\), entonces:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]
Vectores Unitarios:
- Un vector unitario tiene módulo 1 y se obtiene dividiendo un vector por su módulo:
\[ \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]
Ejercicios
Ejercicio 1: Distancia entre Dos Puntos
Problema: Calcula la distancia entre los puntos \( A(1, 2) \) y \( B(4, 6) \).
Solución:
- Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \] - Sustituimos los valores:
\[ d = \sqrt{(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]
Aplicación: Este cálculo es útil en navegación, diseño gráfico y cualquier situación que implique medir la distancia entre dos ubicaciones.
Ejercicio 2: Suma de Vectores en Física
Problema: Un barco se desplaza 5 km al norte y luego 12 km al este. Encuentra el vector resultante de su desplazamiento.
Solución:
- Representamos los movimientos como vectores: \( \vec{v_1} = (0, 5) \) y \( \vec{v_2} = (12, 0) \).
- Sumamos los vectores:
\[ \vec{v} = (0 + 12, 5 + 0) = (12, 5) \] - Módulo del vector resultante:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{km} \]
Aplicación: Este ejercicio simula cálculos de rutas en navegación y aviación, donde se requiere determinar la dirección y distancia total recorrida.
Ejercicio 3: Dirección de un Vector
Problema: Encuentra la dirección del vector \(\vec{v} = (3, 4)\).
Solución:
- La dirección \(\theta\) se calcula con:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \] - Calculando el ángulo:
\[ \theta \approx 53.13^\circ \]
Aplicación: Calcular la dirección es fundamental en problemas de ingeniería, física y robótica, donde se necesita saber la orientación de un objeto en movimiento.