¡Hola matemáticos!✨ ¿Alguna vez te has preguntado cómo los economistas predicen el impacto de un cambio en el precio de un producto? ¿O cómo los ingenieros calculan cuánto tiempo tomará un proyecto si aumentan el número de trabajadores? ¡La proporcionalidad es la clave para resolver estos misterios y muchos más! 💼🏗️

En post nos adentraremos en el mundo de la proporcionalidad:

– 🧠 Revisaremos los conceptos de proporcionalidad directa e inversa

– 🎨 Vamos a explorar las aplicaciones prácticas en economía, física y otras ciencias

– 🛠️ Aprenderemos a resolver problemas del mundo real con proporcionalidad

¿Listo para dominar la proporcionalidad y conquistar la PAES? ¡Practica estos ejercicios y conviértete en un maestro de las relaciones numéricas! 🏆🧠

Conceptos Básicos de Proporcionalidad

Es clave en matemáticas, especialmente en aplicaciones prácticas como economía, física, y otras ciencias.

Proporcionalidad Directa:

• Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una, la otra también aumenta en la misma proporción, o si al disminuir una, la otra disminuye en la misma proporción.
• La relación entre estas magnitudes se puede expresar como \( y = kx \), donde \( k \) es la constante de proporcionalidad.
• Ejemplo: Si una persona gana $10000 por hora, entonces los ingresos (\(y\)) son directamente proporcionales al número de horas trabajadas (\(x\)). Aquí, \( k = 10 \) pesos/hora.

---

Proporcionalidad Inversa:

• Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción, o viceversa.
• La relación entre estas magnitudes se expresa como \( y = \frac{k}{x} \), donde \( k \) es la constante de proporcionalidad.
• Ejemplo: Si 4 personas construyen una pared en 10 horas, el tiempo necesario para construir la misma pared será inversamente proporcional al número de personas. Aquí, \( k \) sería el producto del número de personas por el tiempo (número de horas).

Ejercicios

Ejercicio 1: Cálculo de Sueldo

Problema: Un trabajador recibe un sueldo de $15000 por hora trabajada. Si trabaja 8 horas al día, ¿cuál será su sueldo diario?

Solución:

• Este es un caso de proporcionalidad directa, donde el sueldo (\( y \)) es directamente proporcional al número de horas trabajadas (\( x \)).
• La constante de proporcionalidad \( k \) es $15000/hora.

\[ y = 15000 \times 8 = 120000 \, \text{pesos} \]

Aplicación: Este tipo de cálculo es común en la contabilidad y planificación de horarios para determinar los ingresos basados en horas trabajadas.

---

Ejercicio 2: Velocidad y Tiempo de Viaje

Problema: Un coche viaja a una velocidad constante de 60 km/h. Si aumenta su velocidad a 120 km/h, ¿cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia que antes recorría en 2 horas?

Solución:

• Este es un caso de proporcionalidad inversa, donde el tiempo (\( t \)) es inversamente proporcional a la velocidad (\( v \)).
• La constante de proporcionalidad \( k \) es la distancia recorrida, que se mantiene constante.

Primero, calculamos la constante \( k \) usando la velocidad inicial:

\[ k = v \times t = 60 \times 2 = 120 \, \text{km} \]

Luego, usando la velocidad nueva:

\[ t = \frac{k}{v} = \frac{120}{120} = 1 \, \text{hora} \]

Aplicación: Este cálculo es esencial en logística y transporte, donde es necesario planificar tiempos de entrega y rutas.

---

Ejercicio 3: División de Trabajo

Problema: Cuatro trabajadores construyen una cerca en 6 horas. Si se añaden 2 trabajadores más, ¿cuánto tiempo tardarán en construir la misma cerca?

Solución:

• Este es otro caso de proporcionalidad inversa. El tiempo (\( t \)) es inversamente proporcional al número de trabajadores (\( n \)).

Primero, calculamos la constante \( k \):

\[ k = n \times t = 4 \times 6 = 24 \, \text{horas-trabajador} \]

Luego, usamos \( k \) con el nuevo número de trabajadores (\( n = 6 \)):

\[ t = \frac{k}{n} = \frac{24}{6} = 4 \, \text{horas} \]

Aplicación: Este tipo de cálculo es útil en la gestión de proyectos y asignación de recursos humanos.

---

Ejercicio 4: Uso de Agua en una Planta

Problema: Una planta usa 1000 litros de agua al día para regar 10 árboles. Si se plantan 5 árboles más, ¿cuántos litros de agua serán necesarios por día?

Solución:

• Este es un caso de proporcionalidad directa. El uso de agua (\( y \)) es directamente proporcional al número de árboles (\( x \)).
• La constante de proporcionalidad \( k \) es el agua por árbol por día.

Primero, calculamos \( k \):

\[ k = \frac{1000}{10} = 100 \, \text{litros por árbol por día} \]

Luego, con 15 árboles:

\[ y = 100 \times 15 = 1500 \, \text{litros por día} \]

Aplicación: Este cálculo es relevante en la agricultura y gestión de recursos, donde es importante optimizar el uso del agua.