Concepto de Raíz
Este tema es fundamental en matemáticas, ya que nos permite trabajar con operaciones inversas a las potencias y facilita el manejo de números en su forma radical.
La raíz de un número es la operación inversa de la potencia. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número es aquella que, al elevarse al cuadrado, nos da como resultado el número original. La raíz n-ésima de un número se representa como:
\[\sqrt[n]{a}\]
donde:
– \( n \) es el índice de la raíz (por ejemplo, 2 para la raíz cuadrada, 3 para la cúbica).
– \( a \) es el radicando, el número del que se obtiene la raíz.
Tipos de Raíces
Raíz Cuadrada (\( \sqrt{a} \)):
Es la raíz más común. Busca un número que multiplicado por sí mismo (al cuadrado) nos da \( a \). Ejemplo: \( \sqrt{9} = 3 \), porque \( 3 \times 3 = 9 \).
Raíz Cúbica (\( \sqrt[3]{a} \)):
Busca un número que multiplicado por sí mismo tres veces nos da \( a \). Ejemplo: \( \sqrt[3]{8} = 2 \), porque \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \).
Raíz de índice mayor (\( \sqrt[n]{a} \)):
Puede tener cualquier índice \( n \). Ejemplo: \( \sqrt[4]{16} = 2 \), porque \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \).
Propiedades de las Raíces
Producto de raíces:
La raíz del producto de dos números es igual al producto de sus raíces.
\[\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\]
Ejemplo: \( \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 \) y también \( \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 \).
Cociente de raíces:
La raíz del cociente de dos números es igual al cociente de sus raíces.
\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]
Ejemplo: \( \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2 \) y también \( \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2 \).
Es importante notar, que en ambos casos anteriores, los índices deben coincidir.
Raíz de una raíz:
Se puede simplificar multiplicando los índices de las raíces.
\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \times n]{a}\]
Ejemplo: \( \sqrt{ \sqrt[3]{16} } = \sqrt[6]{16} \).
Suma de Raíces
Cuando mis estudiantes me preguntan si podemos sumar raíces, yo les contesto: «obvio, si por difíciles que se vean no han dejado de ser números», sin embargo, para poder sumarlas debemos asegurarnos de que cumplan dos condiciones escenciales:
- Que posean el mismo índice
- Que posean la misma cantidad subradical (el número bajo la raíz)
Vamos aclarando esto por medio de ejemplos.
Ejemplo 1:
Sumar \(\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}=\)
Este ejercicio viene muy sencillo, pues ya se cumplen ambas condiciones, siendo esto así, procedemos a sumar, podemos pensar la suma como reducción de términos semejantes, donde las raíces serían la parte literal. Quedando:
\[(1+3-2)\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\]
Ejemplo 2:
Sumar \(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{128}-2\sqrt[3]{2}=\)
En este caso los índices son iguales pero las cantidades subradicales son distintas, sin embargo, podemos igualarlas, para ello vamos a «descomponer las raíces».
\[\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{128}-2\sqrt[3]{2}=\]
\[\sqrt[3]{8\cdot 2}+\sqrt[3]{64\cdot 2}-2\sqrt[3]{2}=\]
\[\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{64}\cdot \sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}=\]
\[2\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}=\]
Ahora que cumplimos ambos requisitos, podemos sumar como lo hicimos en el ejemplo 1.
\[(2+4-2)\sqrt[3]{2}=4\sqrt[3]{2}\]
Ejemplo 3:
Si los índices son distintos, podemos igualarlos, amplificándolos o simplificándolos, veamos
\[\sqrt[5]{2}+\sqrt[10]{4}=\]
La amplificación se fundamente en que una raíz, no es otra cosa que una potencia de exponente racional.
\[\sqrt[5]{2}+\sqrt[10]{4}=2^{\frac{1}{5}}+4^{\frac{1}{10}}\]
Podemos igualar los denominadores de las fracciones amplificándolas utilizando como referencia el MCM entre ellas.
\[2^{\frac{1}{5}}+4^{\frac{1}{10}}=2^{\frac{2}{10}}+4^{\frac{1}{10}}\]
Si volvemos a la notación de raíces, tendremos
\[\sqrt[10]{2^2}+\sqrt[10]{4}=\]
\[\sqrt[10]{4}+\sqrt[10]{4}=2\sqrt[10]{4}\]
También se podría haber simplificado el exponente de la segunda potencia o bien hacerlo ahora, quedando:
\[2\sqrt[5]{2}\]
Comparación de Raíces
Para comparar raíces podemos realizar un par de procedimientos, sin embargo, debemos asegurarnos que todas cuenten con el mismo índice, de no tenerlo, procedemos en primer lugar a igualarles. Veámoslo con un ejemplo:
\[2\sqrt{5}, 3\sqrt{7}, 5\sqrt{2}\]
Recomiendo dos procesos,
- Elevar la expresión completa al cuadrado, y comparar los resultados, esto equivaldrá a comparar los valores de las raíces.
\[(2\sqrt{5})^2, (3\sqrt{7})^2, (5\sqrt{2})^2=\]
\[(4\cdot 5), (9\cdot 7), (25\cdot 2)=\]
\[(20), (63), (50)\]
De esta manera podemos comparar y escribirlas de menor a mayor o viceversa.
- Ingresar los números dentro de la raíz para comparar las cantidades subradicales.
\[2\sqrt{5}, 3\sqrt{7}, 5\sqrt{2}=\]
Para ingresar los números a la raíz, estos lo hacen elevados al índice de la raíz.
\[\sqrt{2^2\cdot 5}, \sqrt{3^2\cdot 7}, \sqrt{5^2\cdot 2}=\]
\[\sqrt{20}, \sqrt{63}, \sqrt{50}=\]
Procedemos a comparar las cantidades subradicales, siendo la cantidad mayor al mismo tiempo la mayor raíz.
Racionalización
Racionalizar consiste en reescribir un número racional que suele tener una raíz en el denominador (también se puede hacer con la del numerador), para que dicha raíz desaparezca del denominador y podamos trabajar con una fracción más sencilla. Existen muchos casos de Racionalización, mencionaremos los más habituales por medio de ejemplos, cabe señalar que en todos los casos deberemos amplificar la fracción.
Caso 1: «1 sola Raíz cuadrada en el denominador»
En este caso amplificamos directamente por la misma raíz que tengamos
Ejemplo 1:
\[\frac{5}{\sqrt{3}}\]
\[\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\]
\[\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\]
\[\frac{5\sqrt{3}}{3}=\]
Ejemplo 2:
\[\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\]
\[\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]
\[\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{9}}\]
\[\frac{\sqrt{6}}{3\cdot 3}\]
\[\frac{\sqrt{6}}{9}\]
Caso 2: «Una sola raíz con índice distinto de 2»
En este caso amplificaremos por una raíz que nos permita completar el índice de la raíz original
Ejemplo:
\[\frac{5}{\sqrt[5]{2}}\]
Como 2 está elevado a 1, amplificaremos por \(\sqrt[5]{2^4}\), de esta manera completamos el índice 5 (sumamos los exponentes)
\[\frac{5}{\sqrt[5]{2}}\cdot \frac{\sqrt[5]{2^4}}{\sqrt[5]{2^4}}=\]
\[\frac{5\sqrt[5]{2^4}}{\sqrt[5]{2\cdot 2^4}}=\]
\[\frac{5\sqrt[5]{2^4}}{\sqrt[5]{2^5}}=\]
\[\frac{5\sqrt[5]{16}}{2}\]
Caso 3: «Dos raíces cuadradas en el denominador»
En este caso amplificaremos por dos raíces de tal manera que nos resulte una «suma por su diferencia«
Ejemplo:
\[\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\]
Vamos a amplificar por \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) (lo mismo pero con signo contrario)
\[\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\]
\[\frac{5\cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\]
\[\frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}{3-2}=\]
\[5\sqrt{3}+5\sqrt{2}\]
Existen muchas más combinaciones de denominadores, sin embargo, estas tres son las que más aparecen en la Paes.
Problemas de aplicación:
Ejercicio 1: Cálculo de Áreas
Problema: Una plaza cuadrada tiene un área de 400 m². ¿Cuál es la longitud de cada lado de la plaza?
Solución:
Para encontrar la longitud de cada lado de la plaza, necesitamos calcular la raíz cuadrada del área, ya que el área de un cuadrado se calcula como el lado al cuadrado.
\[\text{Lado} = \sqrt{\text{Área}} = \sqrt{400} = 20 \, \text{m}\]
Aplicación: Este cálculo es útil en la planificación urbana, arquitectura, y construcción, donde frecuentemente se necesita conocer las dimensiones a partir del área para diseñar espacios.
Ejercicio 2: Volumen de un Cubo
Problema: Un cubo tiene un volumen de 27 m³. ¿Cuál es la longitud de uno de sus lados?
Solución:
El volumen de un cubo se calcula como el lado elevado al cubo. Para encontrar la longitud del lado, necesitamos calcular la raíz cúbica del volumen.
\[\text{Lado} = \sqrt[3]{\text{Volumen}} = \sqrt[3]{27} = 3 \, \text{m}\]
Aplicación: Este tipo de cálculo se usa en embalaje y logística, donde es necesario conocer las dimensiones de cajas o contenedores a partir del volumen disponible.
Ejercicio 3: Escalado de Imágenes
Problema: Una imagen tiene una resolución original de 1024 x 1024 píxeles y se quiere reducir manteniendo la proporción para que el área total de píxeles sea 256 x 256. ¿Cuál es el factor de escala?
Solución:
Para encontrar el factor de escala, calculamos la raíz cuadrada de la relación entre el área original y la nueva.
\[\text{Factor de escala} = \sqrt{\frac{1024 \times 1024}{256 \times 256}} = \sqrt{\frac{1048576}{65536}} = \sqrt{16} = 4\]
Esto significa que la imagen original se debe dividir por 4 en cada dimensión para obtener la resolución deseada.
Aplicación: Esta técnica es común en diseño gráfico y fotografía digital, donde se necesita ajustar el tamaño de las imágenes sin distorsionarlas.
Ejercicio 4: Determinación de la Hipotenusa en una Rampa
Problema: Un acceso para sillas de ruedas necesita una rampa con un desplazamiento horizontal de 6 metros y una elevación de 1 metro. ¿Cuál debe ser la longitud de la rampa?
Solución:
Este problema se resuelve usando el teorema de Pitágoras, donde la longitud de la rampa es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
\[\text{Hipotenusa} = \sqrt{(6)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \approx 6.08 \, \text{m}\]
Aplicación: Este tipo de cálculo es esencial en la ingeniería civil y arquitectura para diseñar rampas que cumplan con los estándares de accesibilidad.
Ejercicio 5: Cálculo de la Velocidad del Sonido en Distintas Alturas
Problema: La velocidad del sonido depende de la raíz cuadrada de la temperatura del aire (en Kelvin). Si a nivel del mar (293 K) la velocidad es de aproximadamente 343 m/s, ¿cuál será la velocidad del sonido a una temperatura de 263 K?
Solución:
La relación entre las velocidades se determina por:
\[\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{T_{1}}{T_{2}}}\]
\[v_{2} = v_{1} \times \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}} = 343 \times \sqrt{\frac{263}{293}} \approx 343 \times 0.944 \approx 324 \, \text{m/s}\]
Aplicación: Este cálculo se usa en aviación y meteorología, donde la velocidad del sonido afecta la propagación de las ondas y la precisión de los radares.
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