Potencias

¿Eres de los que aún no saben distinguir la base y el exponente de una potencia? o cuando te hablan de las Propiedades de las Potencias, ¿crees que son como las frutas y las verduras? llenas de propiedades 🤣​🍎​.

Si es así llegaste al lugar indicado, les enseñaré y daré ejemplos de todo esto. Veremos paso a paso como resolver ejercicios de potencias y como aplicar sus propiedades. ❤️​❤️​

¿Qué es una Potencia?

Les contaré la verdad, a los matemáticos les encanta optimizar recursos, en otras palabras hacer el menor trabajo posible, automatizar si es posible, no quiere decir que sean perezosos o flojos, por el contrario son muy ingeniosos (ya tienen una escusa para darle a su profesor cuando no quieran hacer tarea).

Bueno, dicho esto, las potencias sirven para resumir una multiplicación que puede resultar muuuuy laaaarga!

Un poco más formal, «Una potencia es la multiplicación de un factor repetidas veces por sí mismo»

\[a^b=a\cdot a\cdot a\cdot … \cdot a\]

lo anterior \(b\) veces.

El factor repetido (\(a\)) se llama BASE y el número que indica la cantidad de veces que se repite (\(b\)) se llama EXPONENTE.

La potencia \(a^b\) se lee «a elevado a b».

El resultado final de la multiplicación se llama «valor de la potencia».

Veamos un ejemplo

\[5^3=5\cdot 5 \cdot 5 = 125\]

Con esto claro podemos seguir adelante.

Potencias de base y exponente entero

Este tipo de potencias, son de las primeras que aprendemos en el colegio, como su nombre lo indica, sus componentes pertenecen al conjunto de los Números Enteros.

El funcionamiento principal es el mismo, tendremos una pequeña diferencia que definir:

Si \(a\) y \(b\) son enteros con \(a\neq 0\), entonces se tiene que

\[a^{-b}=(\frac{1}{a})^b=\frac{1^b}{a^b}=\frac{1}{a^b}\]

traduzco lo anterior, si queremos cambiar el signo del exponente (ya sea positivo o negativo), debemos «invertir» la fracción, al hacerlo la potencia quedará elevada al número pero con signo contrario, veamos un ejemplo:

\[8^{-3}=(\frac{1}{8})^3=\frac{1}{8\cdot 8 \cdot 8}=\frac{1}{512}\]

Obviamente podemos combinar esto con letras y más números

\[z^{-5}=(\frac{1}{z})^5=\frac{1}{z^5}\]

\[(3x)^{-2}=(\frac{1}{3x})^2=\frac{1}{3^2 \cdot x^2}=\frac{1}{9x^2}\]

IMPORTANTE: noten que en el ejemplo anterior la base se encuentra dentro de un paréntesis y contiene dos elementos, un número (3) y una letra (x), AMBOS quedan elevados al exponente!

\[\frac{x^{-2}}{z^{-3}}=\]

Antes de resolver el ejemplo anterior (se que este ejemplo corresponde a otras potencias, pero aprovecho de incorporarlo) y tratando de hacerlo lo más sencillo para ustedes posible, cuando tienen una fracción con exponentes pueden «intercambiar», «subir o bajar» las potencias para ir cambiando sus exponentes

\[\frac{x^{-2}}{z^{-3}}=\frac{z^3}{x^2}\]

Otra situación MUUUY importante, que seguramente su profesor les mostrará es:

¿Es lo mismo \(-3^2\) que \((-3)^2\)?

Se ven muy parecidos, solo se añade un paréntesis en uno, sin embargo, ese paréntesis lo cambia todo, veamos

\[-3^2=-3\cdot 3 = -9\]

\[(-3)^2=(-3)\cdot (-3)=9\]

Uno es negativo y el otro es positivo. Podemos resumir lo siguiente:

• Si la base es negativa y el exponente es PAR, el resultado es POSITIVO
• Si la base es negativa y el exponente es IMPAR, el resultado es NEGATIVO
• SI la base es positiva, el resultado siempre será POSITIVO

Como pueden ver, es muy importante que sepan reconocer a la perfección como esta conformada la base y el exponente de su potencia.

Sigamos :D.

Potencias de base racional y exponente entero

A diferencia de las que vimos en el punto anterior, ahora trabajaremos con una base que es un número Racional, veamos un par de detalles importantes:

Si \(a\) y \(b\) son números enteros distintos de 0 y \(n\) un número entero, entonces:

\[(\frac{a}{b})^n=\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot … \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^n}{b^n} \]

La misma base se multiplica por si misma \(n\) veces, solo que ahora es un número racional (una fracción o decimal).

\[(\frac{a}{b})^{-n}=\frac{1}{(\frac{a}{b})^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}=\frac{b^n}{a^n}=(\frac{b}{a})^n}\]

Lo anterior significa que, podemos invertir la base para cambiar el signo del exponente :D!

Vamos con un pequeño ejemplo:

\[(\frac{4}{5})^{-3}=(\frac{5}{4})^3=\frac{125}{64}\]

Potencias de exponente 0

Esto es un tema bastante interesante, pero en resumidas cuentas, podemos dar una definición para hacerlo todo más simple, deben recordar que:

«El valor de una potencia de exponente cero y base distinta de cero es igual a 1»

\[a^0=1, a\neq 0\]

Esto es maravilloso, ya que no importa lo gigante que sea la base o lo compleja que se vea, si no es un 0 y está elevada a 0, el resultado es 1.

Ejemplos

\[(1,\bar{45})^0=1\]

\[(\frac{3}{5})^0=1\]

Propiedades de Potencias

Quizás han visto cuadros resúmenes con las propiedades, yo iré explicándolas 1 a 1, con ejemplos y lo más simple posible 😉​.

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia significa elevar dos o más veces una base, por ejemplo

\[(2^3)^4\]

Resolverlo es muy simple, basta con multiplicar los exponentes

\[(2^3)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}\]

Podemos escribirlo con letras de la siguiente manera

\[(a^m)^n=a^{m\cdot n}=a^{mn}\]

Multiplicación de potencias de igual base

Al resolver ejercicios y problemas que involucran potencias suelo hacerme las siguientes preguntas:

¿Qué tenemos?: Una multiplicación de potencias

¿Cómo son las potencias?: De igual base

¿Cómo se resuelve la multiplicación de potencias de igual base?

Se mantiene la base y se suman los exponentes.

\[a^m \cdot a^n=a^{m+n}\]

Ejemplo:

\[(-\frac{2}{3})^3 \cdot (-\frac{2}{3})^2 \cdot (-\frac{2}{3})^4 = (-\frac{2}{3})^{3+2+4}\]

\[(-\frac{2}{3})^9\]

División de potencias de igual base

Nos hacemos las mismas preguntas anteriores poniendo énfasis en la respuesta final

¿Qué tenemos?: Una división de potencias

¿Cómo son las potencias?: De igual base

¿Cómo se resuelve la división de potencias de igual base?

Se mantiene la base y se restan los exponentes

Ejemplo:

\[(0,8)^7:(0,8)^5=(0,8)^{7-5}=(0,8)^2\]

Con letras queda así

\[a^m : a^n = a^{m-n}\]

Multiplicación de potencias de igual exponente

Nos hacemos las mismas preguntas anteriores poniendo énfasis en la respuesta final

¿Qué tenemos?: Una multiplicación de potencias

¿Cómo son las potencias?: De igual exponente

¿Cómo se resuelve la multiplicación de potencias de igual exponente?

Se mantiene el exponente y se multiplican las bases

Ejemplo:

\[3^2\cdot 4^2=(3\cdot 4)^2=12^2\]

Con letras queda así

\[a^m\cdot b^m = (a\cdot b)^m\]

División de potencias de igual exponente

Nos hacemos las mismas preguntas anteriores poniendo énfasis en la respuesta final

¿Qué tenemos?: Una división de potencias

¿Cómo son las potencias?: De igual exponente

¿Cómo se resuelve la división de potencias de igual base?

Se mantiene el exponente y se dividen las bases

Ejemplo:

\[(\frac{6}{7})^{-3} : (-\frac{3}{2})^{-3})=(\frac{6}{7}:\frac{-3}{2})^-3\]

\[(-\frac{4}{7})^-3\]

Con letras queda así

\[a^m : b^m=(a:b)^m\]

Notación Científica

Antes de responder la pregunta ¿Qué es la Notación Científica? o ¿Cómo escribir un número en notación científica? debemos entender el funcionamiento de las potencias de base 10.

Potencias de base 10 y exponente positivo

El valor de una potencia de este estilo es igual a un 1 acompañado de tantos ceros como indique el exponente

Ejemplos

\[10^1=10\]

\[10^2=100\]

\[10^3=1.000\]

\[10^4=10.000\]

Potencias de base 10 y exponente negativo

El valor de una potencia de este tipo es equivalente a un número decimal que tienen tantas cifras decimales como indique el exponente

Ejemplos:

\[10^{-1}=0.1\]

\[10^{-2}=0.01\]

\[10^{-3}=0.001\]

\[10^{-4}=0.0001\]

Resumiendo, el exponente nos indica la cantidad de ceros, si el exponente es positivo, van a la derecha del 1 y si el exponente es negativo, van a la izquierda del 1.

Notación Científica

Nuevamente aparece la creatividad (y quizás comodidad) de los matemáticos, ¿Cómo multiplicarías, sin calculadora los números \(0,00065 \cdot 0,00000000567\)? claramente podrías resolverlo pero tardaría muuucho tiempo, esta dificultad de trabajar con números muy pequeños o también muy grandes se ha resuelto al utilizar notación científica.

Para escribir un número en notación científica, se expresa el número como el producto entre un número real entre 1 y 10, y una potencia de base 10.

Si se quiere escribir un número real \(x\) utilizando notación científica, se tiene:

\[x=a\cdot 10^n\]

con \(1\leq a <10\) y \(n\) un número entero.

Ejemplo 1:

La masa aproximada de la Tierra es de 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kilogramos. Expresar esta cantidad utilizando notación científica.

Debemos escribir este gran número como producto de un número entre 1 y 10, y una potencia de 10

\[5.980.000.000.000.000.000.000.000 = 598\cdot 10.000.000.000.000.000.000.000=\]

\[5,98 \cdot 100 \cdot 10.000.000.000.000.000.000.000=\]

\[5,98\cdot 10^2 \cdot 10^{22}\]

\[5,98 \cdot 10^{24}\]

Lo anterior es lo «formal», sin embargo, lo haré más simple para ustedes

Paso 1: Coloquen siempre la «coma» entre el primer y el segundo número (de esta manera queda un número entre 1 y 10).

Paso 2: contar todos los números que quedan a la derecha de la coma (24 en nuestro caso), esta cantidad será el exponente del 10

Paso 3: escribir el resultado \(5,98 \cdot 10^{24}\)

Ejemplo 2: Escriba en notación científica el número \(0,0000548\)

\[5,48\cdot 10^{-5}\]

Explicación: Coloqué la coma entre los dos primeros números (5 y 4) luego conté cuántos números había entre ambas comas (5), como en este caso los ceros están hacia la izquierda el exponente es negativo.

Ejemplo 3: Escribir el número \(4,5 \cdot 10^5\) desarrollado

\[4,500000\]

\[450000,0\]

\[450.000\]

Explicación: Coloqué 5 ceros a la derecha ya que el exponente es positivo, luego moví la coma 5 espacios. finalmente eliminé el cero sobrante.

Ejemplo 4: Escribir el número \(2,3 \cdot 10^{-4}\) desarrollado

\[00002,3\]

\[0,00023\]

Explicación: Coloqué 4 ceros a la izquierda del 2 porque el exponente es negativo, luego moví la coma 4 espacios a la izquierda.

Ejercicios Resueltos

Si prefieren ver la resolución y escuchar mi bella voz, les invito a que revisen el Video al final!

1. Calcular \((18^9:6^9)^3 \cdot (3^{-8} \cdot 3^{-4})^2\)

Solución:

\[(18^9:6^9)^3 \cdot (3^{-8} \cdot 3^{-4})^2=\]

\[((18:6)^9)^3 \cdot (3^{-8} \cdot 3^{-4})^2=\]

\[(3^9)^3 \cdot (3^{-8} \cdot 3^{-4})^2=\]

\[3^{27} \cdot (3^{-8} \cdot 3^{-4})^2=\]

\[3^{27} \cdot (3^{-8+(-4)})^2=\]

\[3^{27} \cdot (3^{-12})^2=\]

\[3^{27} \cdot 3^{-24}=\]

\[3^{27+(-24)}=\]

\[3^3\]

2. Calcular \((\frac{1}{2}-\frac{4}{3})^{-2}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{4}{3})^{-2}\)

Solución:

\[(\frac{1}{2}-\frac{4}{3})^{-2}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{4}{3})^{-2}=\]

\[(\frac{3}{6}-\frac{8}{6})^{-2}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{4}{3})^{-2}=\]

\[(-\frac{5}{6})^{-2}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{4}{3})^{-2}=\]

\[(-\frac{5}{6})^{-2}\cdot (\frac{3}{6}+\frac{8}{6})^{-2}=\]

\[(-\frac{5}{6})^{-2}\cdot (\frac{11}{6})^{-2}=\]

\[(-\frac{5}{6}\cdot \frac{11}{6})^{-2}=\]

\[(\frac{-55}{36})^{-2}=\]

\[(\frac{-36}{55})^{2}\]

3. Calcular y expresar el resultado utilizando notación científica

\[\frac{0,08\cdot 16.000.000}{0,016\cdot 0,00001}\]

Solución:

\[\frac{0,08\cdot 16.000.000}{0,016\cdot 0,00001}=\]

\[\frac{8\cdot 10^{-2} \cdot 16 \cdot 10^6}{16\cdot 10^{-3} \cdot 1\cdot 10^{-5}}=\]

\[\frac{8\cdot 16 \cdot 10^{-2} \cdot 10^6}{16\cdot 10^{-3} \cdot 10^{-5}}=\]

\[\frac{8\cdot 16 \cdot 10^{4}}{16\cdot 10^{-8}}=\]

\[\frac{128 \cdot 10^{4}}{16\cdot 10^{-8}}=\]

\[\frac{128}{16} \cdot 10^{4-(-8)}=\]

\[8 \cdot 10^{12}\]

4. Se sabe que \(x^9=19.683\) y \(x^8=6.561\) ¿Qué número es x?

Solución:

Para resolver voy a dividir ambas cantidades ya que

\[\frac{x^9}{x^8}=x\]

\[\frac{19.683}{6561}=3\]

\[x=3\]

5. Reducir la siguiente expresión y expresar el resultado con exponente positivo.

\[(\frac{a^3b^{-5}c^2}{a^4d^8}):(\frac{ab^5c^{-4}}{b^7d^5})\]

Solución:

\[(\frac{a^3b^{-5}c^2}{a^4d^8}):(\frac{ab^5c^{-4}}{b^7d^5})=\]

\[(\frac{b^{-5}c^2}{ad^8}):(\frac{ab^5c^{-4}}{b^7d^5})=\]

\[(\frac{c^2}{b^5ad^8}):(\frac{ab^5c^{-4}}{b^7d^5})=\]

\[(\frac{c^2}{b^5ad^8}):(\frac{ac^{-4}}{b^2d^5})=\]

\[(\frac{c^2}{b^5ad^8}):(\frac{a}{b^2c^4d^5})=\]

\[(\frac{c^2}{b^5ad^8}) \cdot (\frac{b^2c^4d^5}{a})=\]

\[\frac{b^2c^6d^5}{b^5a^2d^8}=\]

\[\frac{c^6d^5}{b^3a^2d^8}=\]

\[\frac{c^6}{a^2b^3d^3}\]

6. Escribir la división como una sola potencia.

\[(\frac{x}{y})^8:(\frac{x}{y})^{-6}:(\frac{x}{y})^4\]

Solución:

\[(\frac{x}{y})^8:(\frac{x}{y})^{-6}:(\frac{x}{y})^4=\]

\[(\frac{x}{y})^{(8-(-6)-4)}=\]

\[(\frac{x}{y})^{(8+6-4)}=\]

\[(\frac{x}{y})^{10}\]

Video Ejercicios Resueltos

En este video les explico con aún más detalles los seis ejercicios anteriores :D.