Aunque a menudo se les teme o se les malinterpreta, los números racionales son fundamentales en las matemáticas y tienen aplicaciones prácticas en nuestra vida diaria.
Imagina que estás preparando sopaipillas para un día lluvioso. ¿Cuánta harina necesitas si quieres hacer la mitad de la receta? ¿O qué tal si estás calculando cuánto te queda de tu mesada después de gastarte gran parte de ella en apps? ¡Ahí es donde entran los números racionales!.
Esta guía te llevará a un recorrido detallado por el universo de los números racionales, explorando sus características, cómo trabajar con fracciones, y cómo realizar operaciones esenciales como la suma y resta de fracciones, así como la multiplicación y división de fracciones.
Aprenderás también sobre las transformaciones que permiten convertir fracciones en números decimales y viceversa, y cómo estas habilidades son esenciales para resolver problemas matemáticos de manera eficiente. A través de ejemplos claros y prácticos, desmitificaremos el proceso de simplificación y amplificación, y te mostraremos cómo realizar cálculos precisos y efectivos.
¿Cuáles son y qué símbolo tienen?
Números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción \( \frac{a}{b} \), donde \( a \) y \( b \) son números enteros y \( b \) es distinto de 0. El símbolo que representa a los números racionales es \( \mathbb{Q} \).
Transformaciones
Las transformaciones en números racionales permiten cambiar la forma en que se presentan las fracciones sin alterar su valor. Estas transformaciones son clave para la suma y resta de fracciones, así como para la multiplicación y división de fracciones.
Simplificar
La simplificación de una fracción consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor. Esto es crucial para obtener una fracción irreducible, facilitando así la suma y resta de fracciones.
\( \frac{16}{24} \) se simplifica a \( \frac{2}{3} \).
Amplificar
La amplificación de una fracción implica multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Este proceso es fundamental para la suma y resta de fracciones con diferentes denominadores.
\( \frac{5}{7} \) amplificada por 6 es \( \frac{30}{42} \).
De fracción a número decimal
Para transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador. Esto es esencial para entender cómo los números racionales se relacionan con los números decimales.
\( \frac{3}{4} = 0.75 \).
De número mixto a fracción
Un número mixto se convierte en una fracción multiplicando la parte entera por el denominador y sumando el numerador. Luego, se coloca sobre el denominador original.
Ejemplo: \( 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \).
De número decimal finito a fracción
Para transformar un número decimal finito en una fracción, se escribe el número sin la coma sobre un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales.
Ejemplo: \( 0.576 = \frac{576}{1000} \).
De número decimal periódico a fracción
Un número decimal periódico se convierte en una fracción escribiendo el número sin la coma, restando la parte no periódica, y dividiendo por tantos nueves como cifras periódicas (después de la coma).
Ejemplo: \( 1.5\overline{6} = \frac{15-1}{9} = \frac{14}{9} \).
De número decimal semiperiódico a fracción
Para transformar un número decimal semiperiódico, se escribe todo el número sin la coma, se resta la parte no periódica, y se coloca en el denominador tantos nueves como cifras periódicas seguidos de tantos ceros como cifras no periódicas (después de la coma).
Ejemplo: \( 7.45\overline{6} = \frac{745-7}{990} = \frac{738}{990} \).
Suma de fracciones
La suma de fracciones requiere igualar los denominadores, proceso que puede incluir la amplificación de las fracciones. Esto asegura que las fracciones tengan un denominador común (idealmente el mínimo común múltiplo entre ambos) antes de sumar los numeradores.
Ejemplo: \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{18}{24} + \frac{20}{24} = \frac{38}{24} \).
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, se multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. La simplificación previa puede hacer este proceso más sencillo.
Ejemplo: \( \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{24}{35} \).
División de fracciones
La división de fracciones se convierte en una multiplicación al invertir la segunda fracción (el divisor). Esto es fundamental en la multiplicación y división de fracciones.
Ejemplo: \( \frac{5}{6} \div \frac{4}{5} = \frac{5}{6} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{24} \).
Suma de números decimales
Para sumar números decimales, se alinean las comas decimales y se suman las cifras correspondientes. Esto es similar a la suma y resta de fracciones en términos de organización.
Ejemplo: \( 13.5 + 0.75 = 14.25 \).
Multiplicación de números decimales
En la multiplicación de números decimales, se ignoran las comas inicialmente, se multiplican los números y luego se coloca la coma en el resultado según el total de cifras decimales de los factores. Es decir, contamos todos aquellos números decimales que hay en ambos números y posteriormente ubicamos la coma, contando desde la derecha hacia la izquierda la misma cantidad de espacios.
Ejemplo: \( 1,5 \times 0,2 = \).
\[15 \times 2 = 30\]
Inicialmente había 2 números decimales, por lo tanto, contamos dos espacios desde la derecha para ubicar la coma. Como la coma quedaría a la izquierda del 3, completamos con un 0.
\[0,30\]
División de números decimales
La división de números decimales requiere eliminar las comas multiplicando ambos números por una potencia de 10. Esta potencia de 10 tendrá tantos ceros como aquel número que posea la mayor cantidad de números decimales. Esto simplifica la operación, similar a la simplificación en las fracciones.
Ejemplo: \( 13,5 \div 0,5 = \).
\[13,5 \div 0,5 = (\times 10)\]
\[135 \div 5 = \]
\[135 \div 5 = 27\]
En el ejemplo anterior, como ambos números poseen solo 1 número decimal, amplificamos solamente por 10. Si el caso fuera 13,567 : 2 amplificaremos por 1000.
genial, muy bien explicado y de facil entendimiento para todos 🙂
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todo en perfecto estado, me confundí demasiado el saber como igualar los denominadores y la simplificación, gracias profe!
para esas dos cosas es muy importante el manejo de las tablas y quizás reglas de divisibilidad, te aconsejo darle una vuelta a esos temas, saludos y éxito!
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