Ecuación cuadrática

La ecuación cuadrática, es como su nombre lo indica, una ecuación, que tiene una incógnita elevada al cuadrado, es decir con exponente 2.

Como toda ecuación, el ser capaz de resolverla implica determinar que valores satisfacen la expresión escrita, estos valores reciben el nombre de raíces o soluciones de la ecuación cuadrática, por ejemplo:

\[ x^2+4=20\]

Resolver la ecuación anterior significa determinar qué número elevado al cuadrado + 4 es igual a 20. Podemos tratar de adivinar los números por ensayo y error, ir probando hasta encontrarlos, sin embargo si pensamos en una ecuación como la siguiente \(5x^2+16x+7=0\) se vuelve muy complicado. 😫 

Entonces… ¿existe alguna manera de encontrar la solución sin probar por ensayo y error?, efectivamente EXISTE! y no solo una forma sino que les mostraré dos formas de como determinar esto.

Factorizando

Siempre que enseño este contenido le comento a mis alumnos que la forma «ideal» de resolver esto es factorizando ya que resulta muy rápido… El problema es que no siempre es fácil factorizar, pero bueno veamos de que estoy hablando.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación \(x^2+5x+6=0\)

Solución:

• Paso 1. Debemos ordenar la ecuación de tal modo que nos quede siempre igualada a 0 (que quede un 0 en uno de los lados de la ecuación). En este caso está ordenada 😊 .
• Paso 2. Procedemos a factorizar, en este caso tenemos un trinomio ordenado (tres términos ordenados con los exponentes de las x de manera decreciente). Recordando un poco la factorización se realiza colocando dos paréntesis, en ellos van los números que: multiplicados dan 6 y sumados 5.

\[ x^2+5x+6=0\]

\[ (x+2)(x+3)=0\]

En este punto pensamos🤔… tengo dos paréntesis que se están multiplicando y que dan como resultado 0, ¿Cuándo al multiplicar nos da como resultado 0? Claro! cuando uno de los términos o ambos es cero (3 x 0 = 0). Por lo tanto, tenemos:

\( x+2=0\) o bien \(x+3=0\)

De aquí obtenemos ambas soluciones ya que

\( x=-2\) o bien \(x=-3\)

Si queremos comprobar el resultado debemos reemplazar los valores obtenidos en la ecuación original.

\[ x^2+5x+6=0\]

\[ (-2)^2+5(-2)+6=0\]

\[ 4-10+6=0\]

\[ 10-10=0\]

Ahora con la otra solución

\[ x^2+5x+6=0\]

\[ (-3)^2+5(-3)+6=0\]

\[ 9-15+6=0\]

\[ 15-15=0\]

Excelente!!

Nota: Si quieres reforzar factorización puedes revisar mi post referido al tema 😉 .

Utilizando la Fórmula General

La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática es una maravilla, al menos eso le digo a mis alumnos, si quieres saber de donde viene, lo dejaré al final del post, ya que no es apto para todos verlo 😉.

La fórmula es:

\[ x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Una vez aprendida la fórmula, debemos mirar nuestra ecuación e identificar sus coeficientes, volvamos a nuestro ejemplo inicial:

\[ x^2+5x+6=0\]

sus coeficientes serían

• \(a=1\)
• \(b=5\)
• \(c=6\)

genial!, con estos coeficientes procedemos a reemplazar en la fórmula

\[ x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\[ x=\frac{-5±\sqrt{(5)^2-4(1)(6)}}{2(1)}\]

\[ x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2}\]

\[ x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2}\]

\[ x=\frac{-5±1}{2}\]

De esta expresión obtendremos ambas soluciones

La primera solución la tenemos al utilizar el signo + (estamos separando el signo ± en + y -)

\[ x_1=\frac{-5+1}{2}\]

\[ x_1=\frac{-4}{2}\]

\[ x_1=-2\]

La segunda solución la tenemos al utilizar el signo –

\[ x_1=\frac{-5-1}{2}\]

\[ x_1=\frac{-6}{2}\]

\[ x_1=-3\]

Hemos encontrado las dos soluciones y coinciden con lo que habíamos hecho previamente.

Notoriamente este proceso es más largo que factorizar.

Uso del Discriminante

El discriminante (su símbolo es Δ) es la cantidad subradical (que está debajo de la raíz) que aparece en nuestra hermosa fórmula, es decir,

\[Δ=b^2-4ac\]

Este valor puede ser positivo, negativo o cero, en cada uno de esos casos indicará algo distinto.

• Si el \(Δ>0\) entonces la ecuación tendrá dos soluciones reales y distintas.
• Si el \(Δ=0\) entonces la ecuación tendrá una solución real (dos repetidas).
• Si el \(Δ<0\) entonces la ecuación no tendrá una solución real sino que dos complejas y conjugadas.

Calculando esto al inicio del problema, podremos evitar en algunas ocasiones (cuando no tiene solución real) resolver todo el ejercicio.

Propiedades de la ecuación cuadrática

En algunos ejercicios, típicos de la PAES, nos preguntarán algo como «¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación cuadrática?» o «¿Cuál es el producto de las soluciones de la ecuación cuadrática?» Sin conocer las lindas propiedades que les diré a continuación, tendrían que resolver completamente la ecuación, para luego sumar o multiplicar las soluciones.

Las mágicas propiedades serían:

• La suma de las soluciones de una ecuación cuadrática es

\[x_1+x_2=\frac{-b}{a}\]

• El producto de las soluciones de una ecuación cuadrática es

\[x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\]

Entonces si un problemita por ahí nos dice ¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación \( x^2+5x+6=0\)?

Debemos utilizar la primera propiedad:

\(a=1\) y \(b=5\)

\[x_1+x_2=\frac{-5}{1}\]

Ejercicios tipo PAES Resueltos

• Si \(x=3\) es una solución (raíz) de la ecuación \(x^2+5x+c=0\), entonces ¿cuál es el valor de c?

Solución: Si nos dan una solución de la ecuación debemos reemplazar ese valor (3) en la ecuación y luego despejar la incógnita C

\[(3)^2+5(3)+c=0\]

\[9+15+c=0\]

\[24+c=0\]

\[c=-24\]

• Las raíces (o soluciones) de la ecuación \(x(x-1)=20\) son:

Solución: Para resolver, desarrollamos la expresión y luego factorizamos o bien utilizamos la fórmula general.

\[x(x-1)=20\]

\[x^2-x=20\]

\[x^2-x-20=0\]

Ahora voy a factorizar

\[(x+4)(x-5)=0\]

Por lo tanto las soluciones vienen dadas por

\(x+4=0\) o bien \(x-5=0\)

\(x=-4\) o bien \(x=5\)

• ¿Cuál es el menor valor para la expresión \(x^2+\frac{2}{x}\) cuando x satisface la igualdad \(x+\frac{15}{x}=16\)?

Solución: Resolveremos en primer lugar la ecuación (la última) y luego reemplazamos el valor obtenido en la expresión del inicio

\[x+\frac{15}{x}=16\]

Multiplicamos TODA la expresión por \(x\)

\[x^2+15=16x\]

\[x^2-16x+15=0\]

Ahora factorizamos

\[(x-15)(x-1)=0\]

Por lo tanto las soluciones vienen dadas por

\(x-15=0\) o bien \(x-1=0\)

\(x=15\) o bien \(x=1\)

Tristemente el problema no termina aquí, debemos ahora reemplazar los valores obtenidos en la primera expresión y colocar el resultado menor

• \(x^2+\frac{2}{x}\)

\[(15)^2+\frac{2}{15}\]

\[225+\frac{2}{15}\]

Podemos sumar ambas fracciones (si no sabes como hacerlo revisa mi post 🙂 ), sin embargo, nos damos cuenta que será más de 225, reemplacemos el otro valor y veamos que nos queda

• \(x^2+\frac{2}{x}\)

\[(1)^2+\frac{2}{1}\]

\[1+2\]

\[3\]

Este es el menor valor!!

Finalmente les muestro de donde viene esta fórmula general.

Origen fórmula general

Resolveremos la ecuación \(ax^2+bx+c=0\), esto significa lograr despejar la x:

\[ax^2+bx+c=0\]

Primero dejamos las incógnitas en un lado de la ecuación y c en el otro

\[ax^2+bx=-c\]

Ahora dividimos por \(a\)

\[x^2+\frac{b}{a}x=\frac{-c}{a}\]

Ahora completamos el cuadrado perfecto. Al hacerlo añadimos un tercer sumando y para que nuestra igualdad no se altere, lo debemos incorporar en ambos lados de la ecuación

\[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\]

Procedemos a factorizar en el lado izquierdo y a resolver en el lado derecho

\[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\]

Igualamos denominadores en el lado derecho amplificando la primera fracción por \(4a\) y resolvemos

\[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{-4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\]

\[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\]

Ahora retomamos el lado izquierdo aplicando la raíz cuadrada en TODA nuestra expresión

\[\sqrt{(x+\frac{b}{2a})^2}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\]

Obtenemos

\[|(x+\frac{b}{2a})|=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\]

Antes de quitar las barras de valor absoluto, trabajaremos un poco la expresión de la derecha

\[|(x+\frac{b}{2a})|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\]

\[|(x+\frac{b}{2a})|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Ahora para quitar el valor absoluto utilizamos el símbolo ±

\[x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Terminamos de despejar la x y nos queda

\[x=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\[x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Lo hemos conseguido!!, si me leíste hasta aquí, te felicito!, espero que lo visto hoy te sirva en tus clases 😉