Productos Notables

Los productos notables son esenciales en el aprendizaje del álgebra. Al comprender y aplicar esta herramienta podrás simplificar expresiones algebraicas complejas, factorizar polinomios y resolver ecuaciones de manera más efectiva. Desde los cuadrados de binomios hasta el cubo de un binomio, estos patrones matemáticos te ayudarán a construir una base sólida para abordar temas más avanzados como el cálculo y el álgebra lineal. Si tienes una serie de multiplicaciones que se repiten constantemente, en lugar de resolverlas una y otra vez, podemos encontrar patrones y crear fórmulas que nos permitan obtener los resultados de manera directa. 

¿Por qué son importantes los productos notables?

• Ahorran tiempo: Al utilizar las fórmulas de los productos notables, evitarás realizar largas multiplicaciones término a término.
• Simplifican cálculos: Los productos notables te permiten transformar expresiones complejas en expresiones más sencillas.
• Son la base para otros temas: Los productos notables son fundamentales para entender temas como la factorización, la resolución de ecuaciones y muchos otros.

Se llaman productos porque son el resultado de multiplicaciones y notables porque podemos aprendernos una forma de obtenerlos (como una fórmula) que siempre nos dará resultado.

Quizás les suene «El primer término al cuadrado, más o menos el doble del primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado» esa frase corresponde al famoso Cuadrado de Binomio! 🥳​

A lo largo de esta guía estudiaremos los productos notables que más trabajamos en clases y trataré de explicarlos de la forma más comprensible.

Cuadrado de Binomio

Cuando he iniciado este contenido siempre hago énfasis en los títulos de la materia, ya que los matemáticos nos caracterizamos por nuestros nombres super creativos.

El cuadrado de binomio es efectivamente eso «un binomio al cuadrado».

Si alguien por ahí no recuerda lo que es un binomio, es una expresión algebraica que consta de dos términos por ejemplo: \(3x+2y^2\) o \(x-3y\).

Vamos con la explicación larga y luego con la fórmula que nos ayuda a agilizar el proceso.

\[(x+y)^2=\]

La expresión anterior es el ejercicio, utilizando la definición de potencias podemos escribirlo como

\[(x+y)(x+y)=\]

ahora multiplicamos término a término

\[x^2+xy+xy+y^2=\]

reducimos los términos semejantes

\[x^2+2xy+y^2\]

¿Qué pasa si tuviera un signo negativo?

\[(x-y)^2=\]

\[(x-y)(x-y)=\]

\[x^2-xy-xy+y^2=\]

\[x^2-2xy+y^2\]

Podemos notar que solo cambia el signo central.

Listo, las anteriores son las fórmula que utilizaremos de aquí en adelante: «El cuadrado del primer término + o – el doble del primer por el segundo término, más el segundo término al cuadrado».

Ejercicios resueltos

• \((2a+3b)^2\)

Solución: Para poder aplicar la fórmula es muy importante reconocer quienes son el primer y el segundo término, para este caso el primer término es \(2a\) y el segundo es \(3b\).

\[(2a)^2+2(2a)(3b)+(3b)^2\]

No olvidar que la potencia eleva tanto al número como a la letra

\[4a^2+2(2a)(3b)+9b^2\]

Para el término central no olvidar que la multiplicación es números con números y letras con letras, en caso de tener las mismas letras, se procede como una multiplicación de potencias de igual base (se conserva la base (la letra) y se suman los exponentes)

\[4a^2+12ab+9b^2\]

• \((-2a-3b)^2\)

Solución:

Este ejercicio tiene trampa, ya que podemos factorizar por \(-1\) y cambiar todo

\[(-2a-3b)^2=\]

\[(-(2a+3b))^2=\]

Como puedes ver, nos queda algo negativo elevado a un exponente par, esto indica que el resultado será positivo, es decir, tenemos algo como

\[(-1\cdot (2a+3b))^2=\]

\[(-1)^2\cdot (2a+3b)^2=\]

Podemos obviar el 1 de la izquierda y trabajar solamente con

\[(2a+3b)^2\]

lo cual ya resolvimos en el primer ejercicio

• \((-2a+3b)^2\)

Solución:

Para resolver este ejercicio utilizaremos la propiedad conmutativa de la adición (ósea vamos a dar vuelta los términos)

\[(3b-2a)^2=\]

ahora resolvemos

\[(3b)^2-2(3b)(2a)+(2a)^2=\]

\[9b^2-12ab+4a^2\]

• \((3xy-5z)^2\)

Solución:

\[(3xy)^2-2(3xy)(5z)+(5z)^2=\]

\[9x^2y^2-30xyz+25z^2\]

Todas las letras del término fueron elevadas

• \((\frac{2}{3}a+3b)^2\)

Solución:

\[(\frac{2}{3}a)^2+2(\frac{2}{3}a)(3b)+(3b)^2=\]

\[\frac{4}{9}a^2+2(\frac{2}{3}a)(3b)+9b^2\]

La fracción se eleva «completa» numerador y denominador, ahora multiplicaremos la fracción del término central

\[\frac{4}{9}a^2+\frac{2\cdot 2 \cdot 3b}{3}a+9b^2\]

Simplificamos y multiplicamos

\[\frac{4}{9}a^2+4ab+9b^2\]

• \((0,2x-2y^2)^2\)

Solución:

\[(0,2x)^2-2(0,2x)(2y^2)+(2y^2)^2\]

Elevamos y resolvemos, nos queda potencia de una potencia en las letras del segundo término (se multiplican los exponentes)

\[0,04x^2-2(0,2x)(2y^2)+4y^4=\]

\[0,04x^2-(0,2x)(4y^2)+4y^4=\]

\[0,04x^2-0,8xy^2+4y^4\]

• \((abc^2+3b^3)^2\)

Solución:

\[(abc^2)^2+2(abc^2)(3b^3)+(3b^3)^2=\]

\[a^2b^2c^4+2(abc^2)(3b^3)+9b^6=\]

\[a^2b^2c^4+6ab^4c^2+9b^6\]

Suma por su Diferencia

Ya dimos el primer gran paso, ahora vamos por el segundo.

Nuevamente el nombre lo dice todo vamos a multiplicar dos binomios que solo difieren en la operación entre ellos, una suma y una diferencia, veamos

\[(x+y)(x-y)=\]

Multiplicamos término a término

\[x^2-xy+xy-y^2=\]

Reducimos los términos semejantes

\[x^2-y^2\]

La anterior es la fórmula que necesitamos aprender.

Ejercicios resueltos

• \((3a-b)(3a+b)\)

Solución: para resolver aplicamos la fórmula obtenida, es decir, el primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado.

\[(3a-b)(3a+b)=\]

\[(3a)^2-(b)^2=\]

\[9a^2-b^2\]

así de fácil 😎​

• \((5x^2 – 3y)(5x^2+3y)\)

Solución:

\[(5x^2 – 3y)(5x^2+3y)=\]

\[(5x^2)^2-(3y)^2=\]

\[25x^4-9y^2\]

• \((-4a^2b + 5b))(-4a^2b + 5b)\)

Solución: Para resolver este ejercicio lo primero que haremos será ordenarlo para que se vea más parecido a nuestra fórmula quedando

\[(-4a^2b + 5b))(-4a^2b + 5b)=\]

\[(5b-4a^2b))(5b-4a^2b=)\]

\[(5b)^2-(4a^2b)^2=\]

\[25b^2-16a^4b^2\]

• \((b^2-\frac{1}{2})(b^2+\frac{1}{2})\)

Solución:

\[(b^2)^2-(\frac{1}{2})^2=\]

\[b^4-\frac{1}{4}\]

• \((\frac{3}{4}p^7-\frac{2}{5}q^4)(\frac{3}{4}p^7+\frac{2}{5}q^4)\)

Solución:

\[(\frac{3}{4}p^7)^2-(\frac{2}{5}q^4)^2\]

\[\frac{9}{16}p^14-\frac{4}{25}q^8\]

Llevamos dos vamos por el tercero 😉​

Multiplicación de Binomios con Término Común

No me canso de decirlo, nuestra imaginación es increíble, nuevamente el nombre nos indica lo que debemos hacer, tendremos que multiplicar binomios que tienen algún término en común.

Tengo clarísimo que existe una fórmula para resolver este tipo de ejercicios, sin embargo, yo suelo ignorarla y simplemente digo a mis estudiantes: «multiplique término a término y luego reduzca los que sean semejantes», de esta manera no les obligo a memorizar otra cosa.

De igual modo les dejo la fórmula aquí para quien guste memorizarla

\[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\]

Ejercicios resueltos

• \((x + 6)(x – 2)=\)

Solución: Para resolver multiplicaremos término a término y luego reducimos los que sean semejantes

\[(x + 6)(x – 2)=\]

\[x^2-2x+6x-12=\]

\[x^2+4x-12\]

• \((t + 2 )(t – 3)=\)

Solución:

\[(t + 2 )(t – 3)=\]

\[t^2-3t+2t-6=\]

\[t^2-t-6\]

• \((x + 3)(x + 8)=\)

Solución:

\[(x + 3)(x + 8)=\]

\[x^2+8x+3x+24=\]

\[x^2+11x+24\]

• \((3a^2 – 2b)(3a^2 – 5b)=\)

Solución:

\[(3a^2 – 2b)(3a^2 – 5b)=\]

\[=9a^4-15a^2b-6a^2b+10b^2=\]

\[=9a^4-21a^2b+10b^2=\]

• \((\frac{a}{4}-2b)(\frac{a}{4}-6b)=\)

Solución:

\[(\frac{a}{4}-2b)(\frac{a}{4}-6b)=\]

\[\frac{a^2}{16}-\frac{6}{4}ab-\frac{2}{4}ab+12b^2=\]

\[\frac{a^2}{16}-\frac{8}{4}ab+12b^2=\]

\[\frac{a^2}{16}-2ab+12b^2\]

Cubo de Binomio

Esto ya es un poco menos habitual que se les pregunte, sin embargo, se hace 😈​, les mostraré de donde se origina la fórmula y luego practicaremos un poco.

El cubo de un binomio es efectivamente un binomio que se ha elevado al cubo 😱​, por lo tanto empezamos de esa base y vamos desarrollando

\[(a+b)^3=\]

Utilizando potencias podemos escribirlo como

\[(a+b)^2 \cdot (a+b)=\]

nos queda en primer lugar un cuadrado de binomio que ya sabemos resolver

\[(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b)=\]

con esto listo, multiplicamos término a término… deben resultar seis términos los cuales intentaremos reducir si es posible

\[a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=\]

\[a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

La anterior sería la expresión buscada, determinemos ahora utilizando el signo \(-\)

\[(a-b)^3=\]

\[(a-b)^2 \cdot (a-b)=\]

\[(a^2-2ab+b^2) \cdot (a-b)=\]

\[a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3=\]

\[a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]

Tenemos ambas, resolvamos un par de ejercicios

Ejercicios resueltos

• \((3x+2y)^3=\)

Solución:

\[()^3+3()^2()+3()()^2+()^3\]

\[(3x)^3+3(3x)^2(2y)+3(3x)(2y)^2+(2y)^3=\]

\[27x^3+3(9x^2)(2y)+3(3x)(4y^2)+8y^3=\]

\[27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3\]

• \((\frac{1}{3}x-2y)^3\)

Solución:

\[()^3-3()^2()+3()()^2-()^3=\]

\[(\frac{1}{3}x)^3-3(\frac{1}{3}x)^2(2y)+3(\frac{1}{3}x)(2y)^2-(2y)^3=\]

\[\frac{1}{27}x^3-3\cdot \frac{1}{9}x^2(2y)+3(\frac{1}{3}x)\cdot 4y^2-8y^3=\]

\[\frac{1}{27}x^3-\frac{3}{9}x^2(2y)+\frac{3}{3}x\cdot 4y^2-8y^3=\]

\[\frac{1}{27}x^3-\frac{6}{9}x^2y+\frac{12}{3}xy^2-8y^3=\]

\[\frac{1}{27}x^3-\frac{2}{3}x^2y+4xy^2-8y^3\]

• \((x^2-2y^2)^3\)

Solución:

\[()^3-3()^2()+3()()^2-()^3=\]

\[(x^2)^3-3(x^2)^2(2y^2)+3(x^2)(2y^2)^2-(2y^2)^3=\]

\[x^6-3(x^4)(2y^2)+3(x^2)(4y^4)-8y^6=\]

\[x^6-6x^4y^2+12x^2y^4-8y^6=\]

Cuadrado de Trinomio

Vamos con el último de este capítulo y como ya se imaginan, el cuadrado de trinomio no es otra cosa que un trinomio elevado al cuadrado 😂​, desarrollémoslo y veamos que queda

\[(a+b+c)^2=\]

utilizamos potencias

\[(a+b+c)(a+b+c)=\]

ahora multiplicamos término a término

\[a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=\]

reducimos los términos semejantes y reordenamos

\[a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\]

la anterior es la fórmula que necesitamos, vamos con los últimos ejercicios, esta vez no variare tanto con los tipos de números y exponentes, solo con los signos.

Ejercicios resueltos

• \((x+2y+3z)=\)

Solución:

\[()^2+()^2+()^2+2()()+2()()+2()()=\]

\[(x)^2+(2y)^2+(3z)^2+2(x)(2y)+2(2y)(3z)+2(x)(3z)=\]

\[x^2+4y^2+9z^2+4xy+12yz+6xz\]

Aquí no hubo problemas ya que eran todos positivos, veamos que sucede ahora

• \((x+2y-3z)=\)

Solución: Para este ejercicio es importante darse cuenta que el tercer término es negativo, por lo tanto, en cada parte de la fórmula en que aparezca el tercer término nos debe quedar negativo (menos en el término al cuadrado)

\[()^2+()^2+()^2+2()()+2()()+2()()=\]

\[(x)^2+(2y)^2+(-3z)^2+2(x)(2y)+2(2y)(-3z)+2(x)(-3z)=\]

\[x^2+4y^2+9z^2+4xy-12yz-6xz\]

listo, no fue tan difícil verdad?

• \((x-2y-3z)=\)

Solución:

\[()^2+()^2+()^2+2()()+2()()+2()()=\]

\[(x)^2+(-2y)^2+(-3z)^2+2(x)(-2y)+2(-2y)(-3z)+2(x)(-3z)=\]

\[x^2+4y^2+9z^2-4xy+12yz-6xz\]

Video Explicativo

Tabla de resumen

Producto Notable	Fórmula	Ejemplo en la vida real	Desarrollo Matemático
Cuadrado de un binomio	(a + b)² = a² + 2ab + b²<br>(a – b)² = a² – 2ab + b²	Cálculo del área de un jardín cuadrado: Si un jardín cuadrado tiene un lado que mide (x + 3) metros, su área será (x + 3)² = x² + 6x + 9 metros cuadrados.	(x + 3)² = x² + 2×3 + 3² = x² + 6x + 9
Suma por su diferencia	(a + b)(a – b) = a² – b²	Cálculo de la diferencia de áreas: Si tienes dos cuadrados, uno con lado (x + 2) y otro con lado (x – 2), la diferencia de sus áreas será (x + 2)² – (x – 2)² = 8x.	(x + 2)² – (x – 2)² = (x² + 4x + 4) – (x² – 4x + 4) = 8x
Cubo de un binomio	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³<br>(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³	Volumen de un cubo con arista variable: Si un cubo tiene una arista de (x – 1) cm, su volumen será (x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1 cm³.	(x – 1)³ = x³ – 3x²1 + 3×1² – 1³ = x³ – 3x² + 3x – 1
Cuadrado de un trinomio	(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc	Cálculo del área de un terreno rectangular: Si un terreno rectangular tiene lados que miden (x + y + 2) y (x + y – 2) metros, su área será (x + y + 2)(x + y – 2) = x² + y² + 4 + 2xy.	(x + y + 2)(x + y – 2) = [(x + y) + 2][(x + y) – 2] = (x + y)² – 2² = x² + 2xy + y² – 4

Repasemos:

• Cuadrado de un binomio: Se utiliza para calcular áreas de cuadrados cuando un lado se expresa como una suma o diferencia de dos términos.
• Suma por su diferencia: Es útil para calcular diferencias de áreas o volúmenes cuando se conocen las dimensiones de dos figuras similares.
• Cubo de un binomio: Se aplica en cálculos de volúmenes de cubos o cajas cúbicas cuando una arista se expresa como una suma o diferencia de dos términos.
• Cuadrado de un trinomio: Se utiliza en situaciones donde tienes que calcular el área de una figura plana que se puede descomponer en rectángulos más pequeños.

Aplicaciones en la vida real:

• Física: Cálculo de distancias, áreas, volúmenes, etc. en problemas que involucran variables.
• Ingeniería: Diseño de estructuras, cálculo de fuerzas y momentos.
• Economía: Modelización de fenómenos económicos, cálculo de ganancias y pérdidas.
• Geometría: Cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas.