Desigualdades e Inecuaciones

Hola a tod@s!, les traigo una breve entrada relacionada a desigualdades e inecuaciones, este contenido no es muy extenso (lo que aparece en la PAES), por lo que veremos lo básico para que puedan defenderse en la escuela.

Desigualdades: ¿qué son y qué propiedades tienen?

Definiciones

Vamos a traducir estos conceptos, cuando hablamos de desigualdad nos referimos a una comparación entre dos cantidades, solemos escribir algo como:

• \(a>b\) Se lee «a» es mayor que «b», esto quiere decir además que \(a-b\) es positivo (mayor que 0)
• \(a<b\) Se lee «a» es menor que «b», esto quiere decir además que \(a-b\) es negativo (menor que 0)

Los símbolos que vamos a utilizar son \(>,<, \geq, \leq\), mayor, menor, mayor o igual, menor o igual, respectivamente.

Propiedades

Si a los dos miembros (lados) de una desigualdad se suma (o resta) un mismo número, el sentido de la desigualdad NO cambia. Esto lo escribimos mediante símbolos de la siguiente manera:

Si \(a,b,c\) son números reales y \(a<b\), entonces

\[a+c<b+c\]

Si los dos miembros (lados) de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad NO cambia. Esto lo escribimos mediante símbolos de la siguiente manera:

Si \(a,b,c\) son números reales tales que \(a<b, c>0\), entonces

\[ac<bc\]

Si los dos miembros (lados) de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad SÍ cambia. Esto lo escribimos mediante símbolos de la siguiente manera:

Si \(a,b,c\) son números reales tales que \(a<b, c<0\), entonces

\[ac>bc\]

Si de los dos miembros de una desigualdad, se toman inversos multiplicativos (recíprocos), el sentido de la desigualdad cambia.

Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad NO cambia de sentido.

Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, NO cambia el sentido de la desigualdad; sin embargo, si el grado de la potencia es par, SÍ cambia de sentido.

Ejemplos:

1. Sean \(a\) y \(b\) números enteros negativos, ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) VERDADERA(s)?

I. \(-a-b>0\)

II. \((a+b)^3<0\)

III. \(-b<b\)

Solución:

Probaremos una a una

I. Si \(a\) y \(b\) son negativos, sus inversos aditivos (\(-a, -b\)) son positivos. Por lo tanto, si les otorgamos valores tenemos una situación como

\[-(-2)-(-3)>0\]

\[2+3>0\]

Lo cual es verdadero.

II. Si sumamos dos números negativos, el resultado es negativo y luego si lo elevamos a una potencia impar, nuevamente será negativo, veamos un caso puntual

\[(-2+(-3))^3<0\]

\[(-5)^3<0\]

\[-125<0\]

Lo cual es verdadero.

III. El inverso aditivo de \(b\) es positivo por lo cual esta opción es falsa ya que nos dicen que un número positivo es menor que un negativo. Veamos un caso puntual

\[-(-2)<-2\]

\[2<-2\]

Lo correcto sería I y II.

2. Para que la expresión \(\frac{1-\frac{x+y}{x-y}}{1+\frac{x+y}{x-y}}\) sea positiva, se debe cumplir necesariamente que:

Solución:

Para que la expresión sea positiva, tanto numerador como denominador deben tener el mismo signo.

Primero vamos a organizar la expresión:

\[\frac{1-\frac{x+y}{x-y}}{1+\frac{x+y}{x-y}}\]

Transformaré el 1

\[=\frac{\frac{x-y}{x-y}-\frac{x+y}{x-y}}{\frac{x-y}{x-y}+\frac{x+y}{x-y}}\]

\[=\frac{\frac{x-y-(x+y)}{x-y}}{\frac{x-y+x+y}{x-y}}\]

\[=\frac{\frac{-2y}{x-y}}{\frac{2x}{x-y}}\]

\[=\frac{-2y}{x-y}\cdot \frac{x-y}{2x}\]

\[=\frac{-y}{x}\]

Con esto mucho más simplificado podemos analizar, si ambos deben tener el mismo signo implica que

El signo de \(x\) debe ser igual al signo de \(-y\), esto implica que el signo de \(x\) es contrario al signo de \(y\) y por lo tanto \(x\cdot y < 0 \)

Inecuaciones: ¿qué son y cómo se resuelven?

En palabras sencillas podríamos decir que nos referimos a desigualdades donde existe una incógnita a descubrir. La gran diferencia con las ecuaciones radica en que, las posibles respuestas pueden ser, un valor, ningún valor, un conjunto de valores, infinitos valores!.

Para resolverlas debemos despejar la incógnita x, teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades. Al igual que con las ecuaciones podemos sumar, restar, multiplicar, dividir en ambos lados de la inecuación, solo recuerda que si lo haces por un número negativo debes invertir el sentido del símbolo.

Ejemplos de inecuaciones resueltas:

1. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación \(2x+7\leq 12+x\)?

Solución:

\[2x+7\leq 12+x\]

\[2x-x\leq 12-7\]

\[x\leq 5\]

\[S=]^-\infty,5]\]

2. La inecuación \(\frac{1}{2}(8-2x)<-7\) tiene como conjunto solución:

Solución:

\[\frac{1}{2}(8-2x)<-7\]

\[4-x<-7\]

\[-x<-11\]

Multiplicamos por \(-1\), recordando invertir el signo

\[x>11\]

\[S=]11,\infty[\]

Inecuaciones de segundo grado: ¿qué son y cómo se resuelven?

Guardan mucha semejanza con las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas), tendremos expresiones de la forma:

\[ax^2+bx+c\leq 0\]

El proceso de resolución que puedo sugerirles es:

1. Se debe dejar cero a un lado de la igualdad (cambiando de lado las expresiones).
2. Factorizar la expresión.
3. Encontrar los puntos críticos de la ecuación (valores que hacen cero cada factor o indeterminan la expresión).
4. Construir una tabla donde se incorporen los valores críticos y se analicen lo signos resultantes.
5. Analizar para cada rango, si el producto de los factores será + o -.
6. Construir el conjunto solución con los intervalos que cumplen con la condición inicial (mayor o menor que 0)

Ejemplos:

1. \(x^2+5x-6>0\)

Solución:

En primer lugar factorizamos la expresión

\[(x+6)(x-1)>0\]

Los puntos críticos son \(-6\) y \(1\), con estos valores construimos la tabla:

Con la tabla construida, buscamos los intervalos que nos sirvan, lo solicitado es «mayor que 0 (>0)» por lo tanto buscamos los intervalos con signos +.

\[S=]^-\infty,-6[\cup ]1,\infty^+[\]

2. \(\frac{x^2+x-2}{x+3}\leq 0\)

Solución:

Factorizamos el numerador para obtener todos los puntos críticos

\[\frac{x^2+x-2}{x+3}\leq 0\]

\[\frac{(x+2)(x-1)}{x+3}\leq 0\]

Los puntos críticos serían -3, -2 y 1. (El -3 porque aquí se indetermina la fracción ya que el denominador queda en 0)

Con esto construimos la tabla

Nos centramos en lo solicitado (Menor o igual a 0, \(\leq 0)\)

\[S=]^-\infty,-3[\cup [-2,1]\]

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita: ¿qué son y cómo se resuelven?

Esto es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita.

El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Es decir, se deben cumplir ambas condiciones al mismo tiempo.

Gráficamente correspondería a la intersección (donde se cruzan) de las soluciones.

Ejemplos:

\[x-1<2\]

\[x+1>2\]

Solución:

Resolvemos cada una por separado y posteriormente interceptamos los conjuntos solución.

\[x-1<2\]

\[x<3\]

\[S=]^-\infty,3[\]

\[x+1>2\]

\[x>1\]

\[S=]1,\infty^+[\]

Finalmente la solución es

\[S=]1,3[\]

Problemas de inecuaciones resueltos

En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos \(>, <, \geq o \leq\), tales como:

• a lo menos (\(\geq\))
• cuando mucho (\(\leq\))
• como mínimo (\(\geq\))
• como máximo (\(\leq\))
• sobrepasa (\(>\))
• no alcanza (\(<\))

Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pegunta del problema.

Ejemplos:

1. Si 7 veces un número disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que

a. 42 b. 49 c. 52 d. \(\frac{82}{7}\) e. \(\frac{52}{7}\)

Solución:

Traducimos el «un número» como X y completamos con las operaciones que nos describen

\[7x-5<47\]

\[7x<52\]

\[x<\frac{52}{7}\]

2. «El triple del sucesor de un número entero x no es menor ni igual que el doble del cuadrado del doble de x», es equivalente a

Solución:

Vamos paso a paso, el sucesor de un número entero se representa como

\[x+1\]

El triple de lo anterior sería

\[3(x+1)\]

la frase «no es menor ni igual» significa «es mayor», hasta aquí llevamos

\[3(x+1)>\]

Nos queda por traducir «el doble del cuadrado del doble de x», esto lo haremos iniciando desde atrás

el doble de x

\[2x\]

el cuadrado de \(2x\)

\[(2x)^2\]

El doble de lo anterior

\[2(2x)^2\]

Uniendo todo nos queda

\[3(x+1)>2(2x)^2\]

Espero que les sea útil, por su puesto, existen muchos más tipos de ejercicios, pero esto es lo básico que les servirá para defenderse ante los problemas :D.