Las «amadas» raíces, la verdad son un contenido que personalmente me gusta, no es de mis favoritos pero sí me agradan bastante. Me gustan porque con ellas podemos utilizar varios contenidos y mezclarlos en la resolución de un solo problema. Esto es también la razón de que resulten complicadas de entender para muchos.
Debemos aprender varios conceptos y manejar varias propiedades para que todo resulte más fácil.
Bueno sin más preámbulo, estudiemos estos conceptos y logremos que se vuelvan también uno de sus contenidos favoritos.
Potencias con exponente fraccionario (racional)
Cuando me preguntan ¿Qué es una raíz? suelo comenzar explicando que una raíz no es más que una potencia disfrazada. Pues toda potencia de exponente racional, como por ejemplo \(5^{\frac{1}{2}}\), puede expresarse utilizando el símbolo \(\sqrt{}\), conocido como RAÍZ.
Demos una definición más formal:
«En general, si se tiene una potencia de exponente racional de la forma \(a^{\frac{1}{n}}\), con \(n\in N\), se escribe:
\[a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\]
Lo anterior se lee «raíz enésima de a»
Ejemplos:
\[9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}\]
\[(0.01)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{0.01}\]
\[(\frac{2}{3})^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{\frac{2}{3}}\]
\[125^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{125^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{125}}\]
Potencias de la forma \(a^{\frac{m}{n}}\)
Demos un paso más adelante, en los ejemplos anteriores, el numerador de la fracción (exponente) era un 1, ahora podrá ser cualquier número entero. Vamos con la definición:
En general, si se tiene una potencia de exponente racional de la forma \(a^{\frac{m}{n}}\), con \(n \in N\) y \(m\in Z\), se escribe:
\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\]
con \(\sqrt[n]{a}\in R\)
Antes de sufrir en extremo con la definición, veamos ejemplos 😀
Ejemplos:
\[3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3^2}\]
\[a^2^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{(a^2)^2}\]