¿Cuánta pintura necesitan los pintores para cubrir una pared? ¿Cómo los paisajistas diseñan jardines perfectos? ¡Las áreas y perímetros son la clave para resolver estos problemas y muchos más! 🏠🌳
En este interesante recorrido por el mundo de la geometría, vamos a:
- 🧠 Descubrir los conceptos de área y perímetro de figuras comunes
- 🎨 Explorar las aplicaciones prácticas en arquitectura, diseño y más
- 🛠️ Aprender a resolver problemas del mundo real con geometría
Domina el cálculo de áreas y perímetros de figuras geométricas y prepárate para la PAES con esta guía práctica.
Conceptos básicos
Vamos a explorar los conceptos de Área y Perímetro de las figuras geométricas más comunes: Triángulos, Paralelogramos, Trapecios, Círculos, Segmentos y Sectores Circulares. Estos conceptos son esenciales en geometría.
Triángulos
- Área: Se calcula con la fórmula:
\[ A = \frac{1}{2} \times b \times h \]
donde \( b \) es la base y \( h \) es la altura.- Perímetro: Es la suma de sus tres lados:
\[ P = a + b + c \]
Ejemplo Aplicado: Para un triángulo con base 8 cm y altura 5 cm, el área es:
\[ A = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \, \text{cm}^2 \]
Paralelogramos (Rectángulos, Rombos, y Romboides)
- Área:
\[ A = b \times h \]
donde \( b \) es la base y \( h \) es la altura.- Perímetro:
\[ P = 2(a + b) \]
Ejemplo Aplicado: Para un rectángulo con base 10 cm y altura 4 cm, el área es:
\[ A = 10 \times 4 = 40 \, \text{cm}^2 \]
y el perímetro es:
\[ P = 2(10 + 4) = 28 \, \text{cm} \]
Trapecios
- Área:
\[ A = \frac{1}{2} \times (B + b) \times h \]
donde \( B \) es la base mayor, \( b \) la base menor, y \( h \) la altura.- Perímetro: Es la suma de todos sus lados:
\[ P = B + b + a + c \]
Ejemplo Aplicado: Para un trapecio con bases 6 cm y 4 cm, y altura 5 cm, el área es:
\[ A = \frac{1}{2} \times (6 + 4) \times 5 = 25 \, \text{cm}^2 \]
Círculos
- Área:
\[ A = \pi r^2 \]
donde \( r \) es el radio.- Perímetro (Circunferencia):
\[ C = 2\pi r \]
Ejemplo Aplicado: Para un círculo con radio de 3 cm, el área es:
\[ A = \pi \times 3^2 = 9\pi \, \text{cm}^2 \approx 28.27 \, \text{cm}^2 \]
y la circunferencia es:
\[ C = 2\pi \times 3 = 6\pi \, \text{cm} \approx 18.85 \, \text{cm} \]
Segmentos Circulares
- Un segmento circular es una «rebanada» del círculo delimitada por una cuerda y el arco correspondiente.
- Área del Segmento:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin\theta) \]
donde \( r \) es el radio y \( \theta \) está en radianes.
Sectores Circulares
- Un sector circular es la región del círculo «cortada» por dos radios.
- Área:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]
donde \( \theta \) está en radianes.- Longitud del Arco:
\[ L = r\theta \]
Ejemplo Aplicado: Para un sector circular con radio 4 cm y ángulo \( \frac{\pi}{3} \) radianes, el área es:
\[ A = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \, \text{cm}^2 \approx 8.38 \, \text{cm}^2 \]
Ejercicios
Ejercicio 1: Diseño de un Jardín en Viña del Mar
Problema: Un paisajista está diseñando un jardín en forma de trapecio para una casa en Viña del Mar. Las bases del trapecio miden 12 m y 8 m, y la altura es de 6 m. ¿Cuál es el área total del jardín?
Solución: Usando la fórmula del área del trapecio: A = (1/2) × (B + b) × h A = (1/2) × (12 + 8) × 6 = 60 m²
El jardín tendrá un área total de 60 metros cuadrados.
Aplicación: Este cálculo es esencial para determinar cuánto césped, plantas o sistemas de riego se necesitarán para el jardín.
Ejercicio 2: Construcción de un Camino Circular en el Parque O’Higgins
Problema: Se está construyendo un nuevo camino circular alrededor de una sección del Parque O’Higgins en Santiago. El radio del círculo es de 15 m. ¿Cuál será la longitud total del camino?
Solución: Usando la fórmula de la circunferencia: C = 2πr C = 2π × 15 = 30π ≈ 94.25 m
El camino tendrá una longitud aproximada de 94.25 metros.
Aplicación: Este cálculo es crucial para determinar la cantidad de materiales necesarios para la construcción del camino y estimar el tiempo de trabajo.
Ejercicio 3: Pintar un Mural Triangular en Valparaíso
Problema: Un artista callejero en Valparaíso quiere pintar un mural en forma de triángulo en una pared. La base del triángulo mide 4 m y su altura es de 3 m. ¿Cuánta área necesita pintar?
Solución: Usando la fórmula del área del triángulo: A = (1/2) × b × h A = (1/2) × 4 × 3 = 6 m²
El artista necesitará pintar un área de 6 metros cuadrados.
Aplicación: Este cálculo ayuda al artista a determinar cuánta pintura necesitará y cuánto tiempo le tomará completar el mural.